è corretto?
ho finito di risolvere un problema, ma nn son certo che sia correttissimo in un passaggio, anche se i risultati mi tornano 
date le parabole $alpha:y=-1/2x^2+2x+3$ e $beta:y=x^2+8x+12$
det. le equazioni delle tangenti $"r,s"$ ad entrambe le curve.
come prima cosa ho trovato le rette generiche tangenti alle curve
${(-1/2x^2+2x+3),(y=mx+q):}
da cui otteniamo $x^2+x(2m-4)-6+2q
il discriminante $Delta =(2m-4)^2-4(-6+2q)=0$(condizione di tangenza)
${(x^2+8x+12),(y=mx+q):}
da cui otteniamo $x^2+x(8-m)+12-q
il discriminante $Delta =(8-m)^2-4(12-q)=0
ora c'è il passaggio
essendo che devono essere tangenti ad entrambe le curve, eguaglio i due discriminanti trovati tra loro
$(2m-4)^2-4(-6+2q)=(8-m)^2-4(12-q)
da cui ottengo $m=+-sqrt(4q-8)
ora c'è il passaggio che ho fatto ma ho qlc dubbio...
ho ragionato in questi termini:
$m=+-sqrt(4q-8)$ rappresenta i due possibili coefficinti angolari delle rette tangenti alle curve, quindi i punti $sqrt(4q-8)$ saranno quelli dove le rette taglieranno le ordinate e quindi devono appartenere alle derivate delle funzioni, in quanto derivandole in quei punti si avrà una pendenza giusta.
inoltre le due derivate devono assumere lo stesso valore, ovvero lo stesso coefficiente angolare, quindi
$d/(dx)alpha=-x+2
$d/(dx)beta=2x+8
quindi
$2x+8=-x+2
sostituendo
$+-2sqrt(4q-8)+2=+-sqrt(4q-8)+8
le equazioni risolventi sono due o
$+-sqrt(4q-8)=6
da cui $q=11$ e quindi $m=6$
o
$+-3sqrt(4q-8)=6
da cui $q=3$ e quindi $m=2$
le rette sono
$r:y=6x+11
$s:y=2x+3
è giusto come procedimento?...
grazie
date le parabole $alpha:y=-1/2x^2+2x+3$ e $beta:y=x^2+8x+12$
det. le equazioni delle tangenti $"r,s"$ ad entrambe le curve.
come prima cosa ho trovato le rette generiche tangenti alle curve
${(-1/2x^2+2x+3),(y=mx+q):}
da cui otteniamo $x^2+x(2m-4)-6+2q
il discriminante $Delta =(2m-4)^2-4(-6+2q)=0$(condizione di tangenza)
${(x^2+8x+12),(y=mx+q):}
da cui otteniamo $x^2+x(8-m)+12-q
il discriminante $Delta =(8-m)^2-4(12-q)=0
ora c'è il passaggio
essendo che devono essere tangenti ad entrambe le curve, eguaglio i due discriminanti trovati tra loro
$(2m-4)^2-4(-6+2q)=(8-m)^2-4(12-q)
da cui ottengo $m=+-sqrt(4q-8)
ora c'è il passaggio che ho fatto ma ho qlc dubbio...
ho ragionato in questi termini:
$m=+-sqrt(4q-8)$ rappresenta i due possibili coefficinti angolari delle rette tangenti alle curve, quindi i punti $sqrt(4q-8)$ saranno quelli dove le rette taglieranno le ordinate e quindi devono appartenere alle derivate delle funzioni, in quanto derivandole in quei punti si avrà una pendenza giusta.
inoltre le due derivate devono assumere lo stesso valore, ovvero lo stesso coefficiente angolare, quindi
$d/(dx)alpha=-x+2
$d/(dx)beta=2x+8
quindi
$2x+8=-x+2
sostituendo
$+-2sqrt(4q-8)+2=+-sqrt(4q-8)+8
le equazioni risolventi sono due o
$+-sqrt(4q-8)=6
da cui $q=11$ e quindi $m=6$
o
$+-3sqrt(4q-8)=6
da cui $q=3$ e quindi $m=2$
le rette sono
$r:y=6x+11
$s:y=2x+3
è giusto come procedimento?...
grazie
Risposte
"fu^2":
essendo che devono essere tangenti ad entrambe le curve, eguaglio i due discriminanti trovati tra loro
Non capisco il significato di questo passaggio, dal momento che li hai già imposti uguali a zero.
gli ho posti entrambi uguali a zero, ma in tutti quei fasci me ne servono solo quelli che son tangenti ad entrambe le curve, quindi metto a sistema i due duscriminanti e ottengo l'uguaglianza...
Quello che non riesco a capire io è questo: se li hai posti entrambi uguali a zero, è chiaro che sono uguali, perché dunque imporre quella uguaglianza?
"fu^2":
ho finito di risolvere un problema, ma nn son certo che sia correttissimo in un passaggio, anche se i risultati mi tornano
date le parabole $alpha:y=-1/2x^2+2x+3$ e $beta:y=x^2+8x+12$
det. le equazioni delle tangenti $"r,s"$ ad entrambe le curve.
come prima cosa ho trovato le rette generiche tangenti alle curve
${(-1/2x^2+2x+3),(y=mx+q):}
da cui otteniamo $x^2+x(2m-4)-6+2q
il discriminante $Delta =(2m-4)^2-4(-6+2q)=0$(condizione di tangenza)
${(x^2+8x+12),(y=mx+q):}
da cui otteniamo $x^2+x(8-m)+12-q
il discriminante $Delta =(8-m)^2-4(12-q)=0
ora c'è il passaggio
essendo che devono essere tangenti ad entrambe le curve, eguaglio i due discriminanti trovati tra loro
$(2m-4)^2-4(-6+2q)=(8-m)^2-4(12-q)
da cui ottengo $m=+-sqrt(4q-8)
ora c'è il passaggio che ho fatto ma ho qlc dubbio...
ho ragionato in questi termini:
$m=+-sqrt(4q-8)$ rappresenta i due possibili coefficinti angolari delle rette tangenti alle curve, quindi i punti $sqrt(4q-8)$ saranno quelli dove le rette taglieranno le ordinate e quindi devono appartenere alle derivate delle funzioni, in quanto derivandole in quei punti si avrà una pendenza giusta.
inoltre le due derivate devono assumere lo stesso valore, ovvero lo stesso coefficiente angolare, quindi
$d/(dx)alpha=-x+2
$d/(dx)beta=2x+8
quindi
$2x+8=-x+2
sostituendo
$+-2sqrt(4q-8)+2=+-sqrt(4q-8)+8
le equazioni risolventi sono due o
$+-sqrt(4q-8)=6
da cui $q=11$ e quindi $m=6$
o
$+-3sqrt(4q-8)=6
da cui $q=3$ e quindi $m=2$
le rette sono
$r:y=6x+11
$s:y=2x+3
è giusto come procedimento?...
grazie
hai il sistema dei due discriminanti ${((2m-4)^2-4(-6+2q)=0),((8-m)^2-4(12-q)=0):}$.
Ora dalla seconda ricavi $4q=48-(8-m)^2$ che sostituisci nella prima ed ottieni
$(2m-4)^2+24-2*(48-(8-m)^2)=0->m^2-8m+12=0->m=4+-2$
Ora $m=6->q=11$ e $m=2->q=3$ e le tangenti sono
$y=6x+11, y=2x+3$
beh perchè mettendo uguale a zero in ogni singolo sistema ottengo tutte le curve che sono tangenti a una parabola.
se cerco quelle tangenti ad entrambe, devo metterle a sistema tra loro... nn pensi?,...
però mi fai venire in mente una cosa... basta risolvere direttamente il sistema che ottieni direttamente le due tangenti... giusto?
cioè il sistema composto da
${((8-m)^2-4(12-q)=0 ),((2m-4)^2-4(-6+2q)=0):}
se cerco quelle tangenti ad entrambe, devo metterle a sistema tra loro... nn pensi?,...
però mi fai venire in mente una cosa... basta risolvere direttamente il sistema che ottieni direttamente le due tangenti... giusto?
cioè il sistema composto da
${((8-m)^2-4(12-q)=0 ),((2m-4)^2-4(-6+2q)=0):}
appunto quello che mi era venuto in mente ora
"fu^2":
${((8-m)^2-4(12-q)=0 ),((2m-4)^2-4(-6+2q)=0):}
Quello che ti volevo dire, è che se scrivi questo sistema, è sottinteso che la parte sinistra della prima equazione è uguale alla parte sinistra della seconda, non c'è bisogno di riscriverlo separatamente...
ma c'è un motivo teorico per cui sostituendo nelle derivate mi vine fuori lo stesso il risultato o è solo un caso?
Il motivo teorico è che il coefficiente angolare della tangente è lo stesso, essendo la tangente in comune per entrambe le parabole.
"Tipper":
[quote="fu^2"]${((8-m)^2-4(12-q)=0 ),((2m-4)^2-4(-6+2q)=0):}
Quello che ti volevo dire, è che se scrivi questo sistema, è sottinteso che la parte sinistra della prima equazione è uguale alla parte sinistra della seconda, non c'è bisogno di riscriverlo separatamente...[/quote]
a ok.. ho capito cosa volevi dire
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