Due quesiti che mi tolgono il sonno
Ciao a tutti,
vi vorrei proporre due quesiti che a causa della mia follia mi son posto ma ai quali non riesco a trovare soluzione...
mi hanno molto affascinato e penso che anche molti di voi presteranno attenzione a questi problemi.
Col primo quesito, mi piacerebbe conoscere il punto in cui la funzione $ y=arccos(x) $ interseca la funzione $cos(x)$
che equivale a dire qual è quell'angolo la cui ampiezza è uguale al suo coseno!?!
Con qualsiasi plotter è facile individuarlo graficamente: il valore con una buona approssimazione è uguale a 0,739085133.
Il problema è che io vorrei sapere tra quali angoli è compreso; è facile intuire che è compreso tra $pi/5$ e $pi/4$, ma questo è un intervallo enorme! Vorrei un intervallo più piccolo, purtroppo non so nemmeno come iniziare…
Nel secondo quesito vi chiedo se è possibile ricavarci tramite formule di bisezione e/o sottrazione le funzioni goniometriche dell’angolo $pi/180$ cioè di 1° xD
In preda a un attacco di pazzia, un mio compagno ed io abbiamo trovato il coseno di $pi/60$, ovvero di 3°, come differenza tra gli angoli di 18° e 15°. Se vi può essere utile vi riporto qui di seguito il coseno di $pi/60$
$(2sqrt(15+3sqrt5) +2sqrt(5+sqrt5) +sqrt30-sqrt6-sqrt10+sqrt2)/16$
Ringrazio in anticipo chi si cimenterà in queste ardue prove
vi vorrei proporre due quesiti che a causa della mia follia mi son posto ma ai quali non riesco a trovare soluzione...
mi hanno molto affascinato e penso che anche molti di voi presteranno attenzione a questi problemi.
Col primo quesito, mi piacerebbe conoscere il punto in cui la funzione $ y=arccos(x) $ interseca la funzione $cos(x)$
che equivale a dire qual è quell'angolo la cui ampiezza è uguale al suo coseno!?!
Con qualsiasi plotter è facile individuarlo graficamente: il valore con una buona approssimazione è uguale a 0,739085133.
Il problema è che io vorrei sapere tra quali angoli è compreso; è facile intuire che è compreso tra $pi/5$ e $pi/4$, ma questo è un intervallo enorme! Vorrei un intervallo più piccolo, purtroppo non so nemmeno come iniziare…
Nel secondo quesito vi chiedo se è possibile ricavarci tramite formule di bisezione e/o sottrazione le funzioni goniometriche dell’angolo $pi/180$ cioè di 1° xD
In preda a un attacco di pazzia, un mio compagno ed io abbiamo trovato il coseno di $pi/60$, ovvero di 3°, come differenza tra gli angoli di 18° e 15°. Se vi può essere utile vi riporto qui di seguito il coseno di $pi/60$
$(2sqrt(15+3sqrt5) +2sqrt(5+sqrt5) +sqrt30-sqrt6-sqrt10+sqrt2)/16$
Ringrazio in anticipo chi si cimenterà in queste ardue prove
Risposte
Sul primo problema. Era probabilmente più semplice pensarla come intersezione tra i grafici di $x$ e $cosx$, senza tirare fuori l'arcocoseno (i grafici di due funzioni inverse si possono incontrare solo nella bisettrice del I-III quadrante! e comunque resta intatto il significato evidente di "angolo uguale al suo coseno").
Detto questo, io suggerisco di costruire la funzione $g(x)=x-cosx$ e cercare di approssimare il punto in cui si annulla. In $pi/5$ e in $pi/4$ assumerà segni diversi. Calcola allora quanto vale nel punto medio di questo intervallo e avrai che lo zero sarà nel sottointervallo ai cui estremi $g$ assume ancora valori di segno opposto. In questo modo avrai dimezzato l'intervallo di errore, ma puoi continuare a iterare il procedimento quante volte vuoi! Si chiama metodo di bisezione e funziona perché la funzione è continua.
Una curiosità: hai provato a settare la calcolatrice in radianti e iniziare a schiacciare ripetutamente su $cos$?
Detto questo, io suggerisco di costruire la funzione $g(x)=x-cosx$ e cercare di approssimare il punto in cui si annulla. In $pi/5$ e in $pi/4$ assumerà segni diversi. Calcola allora quanto vale nel punto medio di questo intervallo e avrai che lo zero sarà nel sottointervallo ai cui estremi $g$ assume ancora valori di segno opposto. In questo modo avrai dimezzato l'intervallo di errore, ma puoi continuare a iterare il procedimento quante volte vuoi! Si chiama metodo di bisezione e funziona perché la funzione è continua.
Una curiosità: hai provato a settare la calcolatrice in radianti e iniziare a schiacciare ripetutamente su $cos$?
innanzitutto grazie per la celerità!;)
hahaha sto sclerando!xD MI HAI RESO FELICE!
ora so che la soluzione è compresa $(303pi)/2560$ e $(301pi)/1280$ xD
e posso procedere all'infinito! grazie!xD
Ora davanti a me ho un foglio pieno di frazioni infinitesime!
Ora mi sorge spontantea una domanda...procedendo con questo meccanismo, la ricerca del valore non avrà mai fine e ci dovremo accontentare solo di una buona approsimazione oppure è possibile definirlo con un valore numerico ben preciso???
EDIT
comunque sì, ci avevo già provato con la calcolatrice a fare quel che hai detto... è proprio giocando a scuola con la calcolatrice che mi sono accorto che premendo ripetutamente "cos" si ci fermava su quel curioso numero...
hahaha sto sclerando!xD MI HAI RESO FELICE!
ora so che la soluzione è compresa $(303pi)/2560$ e $(301pi)/1280$ xD
e posso procedere all'infinito! grazie!xD
Ora davanti a me ho un foglio pieno di frazioni infinitesime!
Ora mi sorge spontantea una domanda...procedendo con questo meccanismo, la ricerca del valore non avrà mai fine e ci dovremo accontentare solo di una buona approsimazione oppure è possibile definirlo con un valore numerico ben preciso???
EDIT
comunque sì, ci avevo già provato con la calcolatrice a fare quel che hai detto... è proprio giocando a scuola con la calcolatrice che mi sono accorto che premendo ripetutamente "cos" si ci fermava su quel curioso numero...
In generale la ricerca può non avere mai fine. Penso che il caso in cui a un certo punto esce fuori proprio $0$ a metà di un sottointervallo sia da ritenersi "fortunato". Probabilmente andando avanti così prima o poi ti capita, ma per le potenzialità limitate della calcolatrice o del programma!
"yellow":
In generale la ricerca può non avere mai fine. Penso che il caso in cui a un certo punto esce fuori proprio $0$ a metà di un sottointervallo sia da ritenersi "fortunato". Probabilmente andando avanti così prima o poi ti capita, ma per le potenzialità limitate della calcolatrice o del programma!
ma quindi ci troviamo forse davanti a un numero trascendente?
non esiste un metodo risolutivo per un'equazione come la nostra $x-cos(x)=0$?
resta comunque irrisolta la questione dell'angolo di 1°.
mi chiedevo se ci fosse una formula di "TRISEZIONE" dell'angolo...così sarebbe molto facile...
C'è, ma è un'equazione di terzo grado, sei punto e a capo.
"@melia":
C'è, ma è un'equazione di terzo grado, sei punto e a capo.
scusa, non capisco a cosa ti riferisci, visto che nel mio ultimo post ho fatto due domande...^^
ma comunque se conosci un metodo per risolvere uno dei miei problemi postalo, mi piacerebbe ragionarci sopra... anche voi!
Rispondevo alla formula di triplicazione, te la puoi ricavare agevolmente utilizzando formule di somma e duplicazione, ma viene di terzo grado.
$cos 3 alpha= cos(2alpha+alpha)=cos2alphacosalpha-sin2alpha sinalpha=cosalpha*(2cos^2alpha-1)-2sin^2alphacos alpha=2 cos^3 alpha-cosalpha-2cosalpha(1-cos^2 alpha)=2 cos^3 alpha-cosalpha-2cosalpha+2cos^3 alpha=4cos^3alpha-3 cosalpha$
$cos 3 alpha= cos(2alpha+alpha)=cos2alphacosalpha-sin2alpha sinalpha=cosalpha*(2cos^2alpha-1)-2sin^2alphacos alpha=2 cos^3 alpha-cosalpha-2cosalpha(1-cos^2 alpha)=2 cos^3 alpha-cosalpha-2cosalpha+2cos^3 alpha=4cos^3alpha-3 cosalpha$
Attenzione, parlavo di "TRISEZIONE" non di "TRIPLICAZIONE"...
ma comunque avevo già pensato di partire dal $cos3alpha$ così da sostituire al posto di $3alpha$ e di $alpha$ rispettivamente $alpha$ e $alpha/3$
$cos alpha=4cos^3alpha/3-3 cos$$alpha/3$
da qui bisogna ricavarsi $alpha/3$ che non è affatto facile
qualcuno ha qualche idea su come si possa risolvere?
ma comunque avevo già pensato di partire dal $cos3alpha$ così da sostituire al posto di $3alpha$ e di $alpha$ rispettivamente $alpha$ e $alpha/3$
$cos alpha=4cos^3alpha/3-3 cos$$alpha/3$
da qui bisogna ricavarsi $alpha/3$ che non è affatto facile
qualcuno ha qualche idea su come si possa risolvere?
Potremmo porre $cos (alpha/3)=z$ e dunque l'equazione
diventa:
$4z^3-3z-cos alpha=0$
Ma $cos\alpha$ dovrebbe essere (mi fido) quello che hai scritto nel primo post
Si tratta allora, come ha già indicato @melia, di risolvere quell'equazione di terzo grado, di cui esiste un metodo risolutivo (che mi ricorda la famosa querelle tra Tartaglia e Cardano...).
"fhabbio":
$cos alpha=4cos^3alpha/3-3 cos$$alpha/3$
diventa:
$4z^3-3z-cos alpha=0$
Ma $cos\alpha$ dovrebbe essere (mi fido) quello che hai scritto nel primo post
"fhabbio":
Se vi può essere utile vi riporto qui di seguito il coseno di $pi/60$
$(2sqrt(15+3sqrt5) +2sqrt(5+sqrt5) +sqrt30-sqrt6-sqrt10+sqrt2)/16$
Si tratta allora, come ha già indicato @melia, di risolvere quell'equazione di terzo grado, di cui esiste un metodo risolutivo (che mi ricorda la famosa querelle tra Tartaglia e Cardano...).
"cenzo":
Si tratta allora, come ha già indicato @melia, di risolvere quell'equazione di terzo grado, di cui esiste un metodo risolutivo
xD
ma è un qualcosa di assurdo, astruso e lontano alla comprensione di un uomo con un'intelligenza sotto la media come me!
non mi dire che ora il trucchetto è solo applicare la formula di cardano???
ci provo...ma parto già sconfortato avendo visto di che formulaccia si tratta!:(
"fhabbio":
ma è un qualcosa di assurdo, astruso e lontano alla comprensione di un uomo con un'intelligenza sotto la media come me!
non mi dire che ora il trucchetto è solo applicare la formula di cardano???
ci provo...ma parto già sconfortato avendo visto di che formulaccia si tratta!:(
Non mi sembra che te la cavi affatto male.
Comunque intendevo solo dire che "in linea teorica" si può provare per quella strada...
ecco i calcoli che ho sviluppato i quali ovviamente non mi portano da nessuna parte xD
(ho numerato i passaggi per arrivare alla forma finale così che possiate agevolmente indicarmi, nell'eventualità che ci sia, qual è il passaggio errato)
intanto per applicare la formula risolutiva di cardano ho portato l'equazione
$4z^3-3z-cos alpha=0$
a questa forma
[1] $z^3-3/4z-cos alpha/4=0$
da qui si ottiene questa boiata qua, se vi fidate dei miei calcoli potete passare direttamente al passaggio [4] e vi spiego subito qual è l'inghippo
[2] $z=root(3)(-(-cos alpha/8) +sqrt((-cos alpha/8)^2+(-1/4)^3)) + root(3)(-(-cos alpha/8) -sqrt((-cos alpha/8)^2+(-1/4)^3))$
risolvendo
[3] $z=root(3)(cos alpha/8 + sqrt[((cos^2 alpha -1)/64)]$ $+ root(3)(cos alpha/8 - sqrt[((cos^2 alpha -1)/64)] $
arriviamo dunque a questa formulaccia qua!
[4] $z=root(3)(cos alpha/8 + 1/8sqrt(-sen^2alpha)$ $+ root(3)(cos alpha/8 - 1/8sqrt(-sen^2 alpha) $
qual è il problema?
il problema è che sotto la radice quadrata abbiamo $ -sen^2alpha$ e noi sappiamo che $ sen^2alpha$ è sempre positivo ma con un bel segno $-$ davanti, diventa sempre negativo!
abbiamo perciò sotto la radice quadrata un valore sempre negativo -.-
cosa bisogna fare arrivati a questo punto in cui anche le calcolatrici scientifiche si rifiutano di andare avanti?
P.S.
problema di scrittura: come si fanno le radici più "alte"?xD vedete come sono corte
(ho numerato i passaggi per arrivare alla forma finale così che possiate agevolmente indicarmi, nell'eventualità che ci sia, qual è il passaggio errato)
intanto per applicare la formula risolutiva di cardano ho portato l'equazione
$4z^3-3z-cos alpha=0$
a questa forma
[1] $z^3-3/4z-cos alpha/4=0$
da qui si ottiene questa boiata qua, se vi fidate dei miei calcoli potete passare direttamente al passaggio [4] e vi spiego subito qual è l'inghippo
[2] $z=root(3)(-(-cos alpha/8) +sqrt((-cos alpha/8)^2+(-1/4)^3)) + root(3)(-(-cos alpha/8) -sqrt((-cos alpha/8)^2+(-1/4)^3))$
risolvendo
[3] $z=root(3)(cos alpha/8 + sqrt[((cos^2 alpha -1)/64)]$ $+ root(3)(cos alpha/8 - sqrt[((cos^2 alpha -1)/64)] $
arriviamo dunque a questa formulaccia qua!
[4] $z=root(3)(cos alpha/8 + 1/8sqrt(-sen^2alpha)$ $+ root(3)(cos alpha/8 - 1/8sqrt(-sen^2 alpha) $
qual è il problema?
il problema è che sotto la radice quadrata abbiamo $ -sen^2alpha$ e noi sappiamo che $ sen^2alpha$ è sempre positivo ma con un bel segno $-$ davanti, diventa sempre negativo!
abbiamo perciò sotto la radice quadrata un valore sempre negativo -.-
cosa bisogna fare arrivati a questo punto in cui anche le calcolatrici scientifiche si rifiutano di andare avanti?
P.S.
problema di scrittura: come si fanno le radici più "alte"?xD vedete come sono corte
Le soluzioni di quelle radici quadrate sono numeri complessi, puramente immaginari.
Stamattina rimuginando nel letto sulla delusione che ho avuto scoprendo che la formula di trisezione non mi portava da nessuna parte, ho avuto il lampo di genio...
non avendo nulla da perderci (a parte un po' di tempo che dovrei dedicare agli studi xD), perchè non continuare su quei calcoli?
Ed ecco a che punto sono arrivato.
Ripartiamo da dove l'avevamo lasciata
[4] $z=root(3)(cos alpha/8 + 1/8sqrt(-sen^2alpha)$ $+ root(3)(cos alpha/8 - 1/8sqrt(-sen^2 alpha) $
sviluppiamo i calcoli, portiamo $1/8$ fuori dalla radice e grazie ai nostri cari numeri immaginari scriviamo $sqrt(-sen^2alpha)$ come $isen alpha$
[5] $z=(root(3)(cos alpha +isen alpha) + root(3)(cos alpha -isen alpha))/2 $
Guardate come è compatta ed elegante ora!
ma vi diro di più!
ho ritrovato nei cassetti della memoria un'identità matematica che mi ha sempre affascinato ma a causa delle mie ancora scarse conoscenze, non mi è del tutto chiara.
Si tratta dell'identità trovata nel 1748 da Leonhard Euler, per gli amici Eulero.
In base a questa formula
$e^(ialpha)=cos alpha + isen alpha$
$e$ è la base dei logaritmi naturali ed $i$ l'unità immaginaria.
Andiamo a sostituire dunque al posto di $cos alpha + isen alpha$ nella nostra equazione la più elegante $e^(ialpha)$
[6] $z=(root(3)(e^(ialpha)) + root(3)(cos alpha -isen alpha))/2 $
certo, mi rendo conto che così è diventata molto più arcana.
Ma a me sorprende e incuriosisce sempre di più!
Cosa può mai azzeccarci la base $e$ con la trisezione dell'angolo!?
Andrò a chiederlo a chi ha creato il mondo...
non avendo nulla da perderci (a parte un po' di tempo che dovrei dedicare agli studi xD), perchè non continuare su quei calcoli?
Ed ecco a che punto sono arrivato.
Ripartiamo da dove l'avevamo lasciata
[4] $z=root(3)(cos alpha/8 + 1/8sqrt(-sen^2alpha)$ $+ root(3)(cos alpha/8 - 1/8sqrt(-sen^2 alpha) $
sviluppiamo i calcoli, portiamo $1/8$ fuori dalla radice e grazie ai nostri cari numeri immaginari scriviamo $sqrt(-sen^2alpha)$ come $isen alpha$
[5] $z=(root(3)(cos alpha +isen alpha) + root(3)(cos alpha -isen alpha))/2 $
Guardate come è compatta ed elegante ora!
ma vi diro di più!
ho ritrovato nei cassetti della memoria un'identità matematica che mi ha sempre affascinato ma a causa delle mie ancora scarse conoscenze, non mi è del tutto chiara.
Si tratta dell'identità trovata nel 1748 da Leonhard Euler, per gli amici Eulero.
In base a questa formula
$e^(ialpha)=cos alpha + isen alpha$
$e$ è la base dei logaritmi naturali ed $i$ l'unità immaginaria.
Andiamo a sostituire dunque al posto di $cos alpha + isen alpha$ nella nostra equazione la più elegante $e^(ialpha)$
[6] $z=(root(3)(e^(ialpha)) + root(3)(cos alpha -isen alpha))/2 $
certo, mi rendo conto che così è diventata molto più arcana.
Ma a me sorprende e incuriosisce sempre di più!
Cosa può mai azzeccarci la base $e$ con la trisezione dell'angolo!?
Andrò a chiederlo a chi ha creato il mondo...
@fhabbio: Bravo. Fai bene a ragionare così, autonomamente [size=75](*)[/size]. Riflessioni non molto dissimili dalle tue sono quelle che condussero i padri dei numeri complessi a formulare la teoria come la conosciamo oggi. Mi pare di capire che sei uno studente di scuola superiore. Un libro che ti consiglio è Visual Complex Analysis di T. Needham, primo capitolo. Il livello è universitario "undergraduate", ovvero rivolto agli studenti dei primi anni: ma il primo capitolo è ampiamente alla tua portata ed è zeppo del materiale che ti interessa.
_____________
(*) Ma non sottrarre tempo alle altre materie. "Da che pulpito viene la predica", mi dirai: anche io infatti tendo, quando mi interessa qualcosa, a trascurare tutto il resto. E questo è un grosso difetto. Bisogna sapersi organizzare bene i tempi: sapere quando smettere di pensare a qualcosa è importante quanto iniziare a pensare.
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(*) Ma non sottrarre tempo alle altre materie. "Da che pulpito viene la predica", mi dirai: anche io infatti tendo, quando mi interessa qualcosa, a trascurare tutto il resto. E questo è un grosso difetto. Bisogna sapersi organizzare bene i tempi: sapere quando smettere di pensare a qualcosa è importante quanto iniziare a pensare.
Ulteriore curiosità.
Magari qualcuno può spiegarmi il perchè...
se diamo valore $pi$ ad $alpha$ dovremmo ottenere il $cos (pi/3)$ cioè $1/2$, ma c'è qualcosa che non va...
[5] $z=(root(3)(cos alpha +isen alpha) + root(3)(cos alpha -isen alpha))/2 $
sostituiamo $pi$
[5.1] $z=(root(3)(cos pi +isen pi) + root(3)(cos pi -isen pi))/2 $
da cui
[5.2] $z=(root(3)(-1) + root(3)(-1))/2 -> z=-2/2 -> z=-1$
perchè non esce $1/2$???
problema analogo quando diamo ad $alpha$ valore uguale a $pi/2$.
dovremmo ottenere il $cos (pi/6)$ cioè $sqrt(3)/2$
[5.3] $z=(root(3)(cos (pi/2) +isen (pi/2)) + root(3)(cos (pi/2) -isen (pi/2)))/2 $
ne consegue
[5.4] $z=(root(3)(i) + root(3)(-i))/2 -> z=(root(3)(i) - root(3)(i))/2 -> z=0$
su quest'ultimo esempio non mi pronuncio perchè non conosco le proprietà dei numeri complessi, ho ragionato solo intuitivamente...
quindi vi chiedo scusa in anticipo se ho scritto qualche idiozia...
Magari qualcuno può spiegarmi il perchè...
se diamo valore $pi$ ad $alpha$ dovremmo ottenere il $cos (pi/3)$ cioè $1/2$, ma c'è qualcosa che non va...
[5] $z=(root(3)(cos alpha +isen alpha) + root(3)(cos alpha -isen alpha))/2 $
sostituiamo $pi$
[5.1] $z=(root(3)(cos pi +isen pi) + root(3)(cos pi -isen pi))/2 $
da cui
[5.2] $z=(root(3)(-1) + root(3)(-1))/2 -> z=-2/2 -> z=-1$
perchè non esce $1/2$???problema analogo quando diamo ad $alpha$ valore uguale a $pi/2$.
dovremmo ottenere il $cos (pi/6)$ cioè $sqrt(3)/2$
[5.3] $z=(root(3)(cos (pi/2) +isen (pi/2)) + root(3)(cos (pi/2) -isen (pi/2)))/2 $
ne consegue
[5.4] $z=(root(3)(i) + root(3)(-i))/2 -> z=(root(3)(i) - root(3)(i))/2 -> z=0$
su quest'ultimo esempio non mi pronuncio perchè non conosco le proprietà dei numeri complessi, ho ragionato solo intuitivamente...
quindi vi chiedo scusa in anticipo se ho scritto qualche idiozia...
Un numero complesso diverso da $0$ non ha una sola radice terza, ne ha sempre tre. Sicuramente avrai operato qualche semplificazione troppo disinvolta nel ricavare quella formula o nel calcolarla per $z=pi$, ecco perché adesso non ti ritrovi.
Comunque sull'argomento "applicazione dei numeri complessi alla trigonometria" esiste tutta una teoria ben sviluppata, se l'argomento ti interessa potresti provare a studiare qualcosina. Il concetto di fondo sta nell'applicazione della formula di Eulero, mediante la quale tutte le relazioni trigonometriche diventano più trasparenti.
Comunque sull'argomento "applicazione dei numeri complessi alla trigonometria" esiste tutta una teoria ben sviluppata, se l'argomento ti interessa potresti provare a studiare qualcosina. Il concetto di fondo sta nell'applicazione della formula di Eulero, mediante la quale tutte le relazioni trigonometriche diventano più trasparenti.
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