Due problemi di geometria sui criteri di congruenza tra triangoli
Salve a tutti, avrei bisogno di due dimostrazioni di geometria. L'esercizio 1 l'ho abbastanza capito, non mi viene il principalmente il punto 3, mentre l'esercizio 2 proprio non so come fare. Grazie mille
1. Dato un segmento AB conduci, da parti opposte rispetto alla retta AB, due semirette a e b, aventi origini rispettivamente in A e B, che formino angoli congruenti con AB. Considera poi due punti P e Q, appartenenti rispettivamente ad a e b, tali che AP congruente a BQ e dimostra che: 1)il triangolo APB è congruente al triangolo AQB. 2) Il triangolo APQ è congruente al triangolo BPQ. 3)PQ interseca AB nel suo punto medio.
2)Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia la mediana CM relativa ad AB. Considera su CM un punto T (diverso da C e da M) e sui lati AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q tali che: PC congruente a QC; la retta PT interseca il segmento AB in S; la retta QT interseca il segmento AB in R. DIMOSTRA che il triangolo RST è isoscele.
1. Dato un segmento AB conduci, da parti opposte rispetto alla retta AB, due semirette a e b, aventi origini rispettivamente in A e B, che formino angoli congruenti con AB. Considera poi due punti P e Q, appartenenti rispettivamente ad a e b, tali che AP congruente a BQ e dimostra che: 1)il triangolo APB è congruente al triangolo AQB. 2) Il triangolo APQ è congruente al triangolo BPQ. 3)PQ interseca AB nel suo punto medio.
2)Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia la mediana CM relativa ad AB. Considera su CM un punto T (diverso da C e da M) e sui lati AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q tali che: PC congruente a QC; la retta PT interseca il segmento AB in S; la retta QT interseca il segmento AB in R. DIMOSTRA che il triangolo RST è isoscele.
Risposte
Ciao Martina,
avevo scritto un'impostazione di dimostrazione per il secondo ma il forum mi ha buttato fuori (!) e ho perso tutto quello che avevo scritto.
Mi spiace, sarò più breve ora. :pp
Comunque parliamo del secondo problema e intanto lascio un disegno.
Ti illustro i punti della dimostrazione - li metto in rosso - in modo da sbloccarti, ma lascio a te il completarli. Se c'è qualcosa che non va, chiedi.
1.
Il triangolo PCQ è isoscele. Qui non c'è niente da dire, PC = QC per ipotesi.
2.
Sul disegno mi sono dimenticato di dare una lettera all'intersezione tra CM e PQ: questo punto lo chiamo H.
CH è altezza, mediana e bisettrice dell'angolo C.
Questo punto è semplice. CH per ipotesi è bisettrice di C (CM è mediana del triangolo isoscele originario) quindi, essendo PCQ isoscele, questa oltre ad essere bisettrice è anche mediana e altezza.
Qui non c'è molto da dire, quindi.
3.
Il triangolo PQT è isoscele.
PQ è perpendicolare a CT poiché CH è anche altezza, come detto nel punto precedente.
Abbiamo ora che TH è altezza (poiché PQ è perpendicolare a CT) ed è anche mediana di PQ (lo è CH!). Quindi è anche bisettrice e quindi il triangolo TPQ è isoscele.
4.
Il triangolo RTS è isoscele (fine!).
Puoi dimostrare che i triangoli RTS e PQT sono simili per dedurre che RTS è isoscele.
Qui ti dico solo di usare le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale per quanto riguarda gli angoli (credo che c'entri qualcosa Talete) tenendo conto del fatto che PQ e AB sono paralleli (poiché perpendicolari allo stesso segmento CM).
Queste due parallele sono tagliate dalla trasversale PS e poi dalla trasversale QR.
Ricordi? Angoli alterni interni, corrispondenti, ..., ... :daidai
avevo scritto un'impostazione di dimostrazione per il secondo ma il forum mi ha buttato fuori (!) e ho perso tutto quello che avevo scritto.
Mi spiace, sarò più breve ora. :pp
Comunque parliamo del secondo problema e intanto lascio un disegno.
Ti illustro i punti della dimostrazione - li metto in rosso - in modo da sbloccarti, ma lascio a te il completarli. Se c'è qualcosa che non va, chiedi.
1.
Il triangolo PCQ è isoscele. Qui non c'è niente da dire, PC = QC per ipotesi.
2.
Sul disegno mi sono dimenticato di dare una lettera all'intersezione tra CM e PQ: questo punto lo chiamo H.
CH è altezza, mediana e bisettrice dell'angolo C.
Questo punto è semplice. CH per ipotesi è bisettrice di C (CM è mediana del triangolo isoscele originario) quindi, essendo PCQ isoscele, questa oltre ad essere bisettrice è anche mediana e altezza.
Qui non c'è molto da dire, quindi.
3.
Il triangolo PQT è isoscele.
PQ è perpendicolare a CT poiché CH è anche altezza, come detto nel punto precedente.
Abbiamo ora che TH è altezza (poiché PQ è perpendicolare a CT) ed è anche mediana di PQ (lo è CH!). Quindi è anche bisettrice e quindi il triangolo TPQ è isoscele.
4.
Il triangolo RTS è isoscele (fine!).
Puoi dimostrare che i triangoli RTS e PQT sono simili per dedurre che RTS è isoscele.
Qui ti dico solo di usare le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale per quanto riguarda gli angoli (credo che c'entri qualcosa Talete) tenendo conto del fatto che PQ e AB sono paralleli (poiché perpendicolari allo stesso segmento CM).
Queste due parallele sono tagliate dalla trasversale PS e poi dalla trasversale QR.
Ricordi? Angoli alterni interni, corrispondenti, ..., ... :daidai
Grazie mille per la disponibilità, ho solo un altro dubbio relativo al punto 4 dell'esercizio, potresti spiegarmelo meglio (anche con angoli alterni interni ecc.ecc.), non ho fatto Talete
Salve, servirebbe anche a me, specialmente il problema 1. Grazie in anticipo a colui/colei che rispinderà
In realtà non si tratta di Talete, quello è su un fascio di rette parallele tagliate da una trasversale e implica delle proporzionalità. Quindi mi scuso e faccio un momento marcia indietro...
... quando dico "marcia indietro" intendo che non è Talete, ma comunque si tratta di proprietà di determinati angoli che si formano in presenza di parallele tagliate da una trasversale.
Si parla di angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti, ..., non ti dice nulla questo?
Una domanda: ma ti sei cancellata dal forum?
(immagino che se è così non risponderai mai) :O_o
... quando dico "marcia indietro" intendo che non è Talete, ma comunque si tratta di proprietà di determinati angoli che si formano in presenza di parallele tagliate da una trasversale.
Si parla di angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti, ..., non ti dice nulla questo?
Una domanda: ma ti sei cancellata dal forum?
(immagino che se è così non risponderai mai) :O_o
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