Due problemi
Salve!
Sto impazzendo con questi due problemi! Ci ho provato più volte a svolgerli, ma ne esco sempre con radicali lunghissimi! Come si risolvono?
1-La base minore CD di un trapezio rettangolo ABCD è congruente all'altezza AD. Il rapporto tra CB e AD è sqrt2. Il perimetro del trapezio è 20(4+sqrt2). Determinare l'area del trapezio e il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC.
2-In un semicerchio di diametro AB uguale a 8cm è inscritto un trapezio isoscele ABCD. Sapendo che la base minore CD è il doppio del lato obliquo, determina il lato obliquo e l'area del trapezio.
Grazie mille! Sono ansioso di vedere i vostri svolgimenti!
Ciao ciao
~Duch~
Sto impazzendo con questi due problemi! Ci ho provato più volte a svolgerli, ma ne esco sempre con radicali lunghissimi! Come si risolvono?
1-La base minore CD di un trapezio rettangolo ABCD è congruente all'altezza AD. Il rapporto tra CB e AD è sqrt2. Il perimetro del trapezio è 20(4+sqrt2). Determinare l'area del trapezio e il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo ABC.
2-In un semicerchio di diametro AB uguale a 8cm è inscritto un trapezio isoscele ABCD. Sapendo che la base minore CD è il doppio del lato obliquo, determina il lato obliquo e l'area del trapezio.
Grazie mille! Sono ansioso di vedere i vostri svolgimenti!
Ciao ciao
~Duch~
Risposte
1) Ponendo CD = AD = x, si ha CB = sqrt(2)*x.
La proiezione del lato obliquo CB sulla base maggiore AB è BH = x (perchè il triangolo BHC è rettangolo e isoscele, oppure puoi usare il teorema di Pitagora) per cui la base maggiore diventa AB = 2x.
Il perimetro del trapezio è dunque:
AB + AD + DC + CB = 2x + x + x + sqrt(2)*x = x*(4 + sqrt(2))
Uguagliando questa espressione con il valore numerico dato si ha x = 20.
L'area del trapezio è perciò S = ((2x + x)*x)/2 = 3x^2/2 = 600.
Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è 2*S/p.
Il triangolo ABC è isoscele di base 40, altezza 20 e lati 20*sqrt(2).
Il raggio perciò diventa:
40*20/(40 + 40*sqrt(2)) = 20/(1 + sqrt(2)) = 20*(sqrt(2) - 1).
2) Ponendo CB = x si ha DC = 2x.
La proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è BH = 4 - x, perciò, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BHC, si ottiene l'altezza del trapezio:
CH = sqrt(x^2 - (4 - x)^2) = sqrt(8x - 16)
Per determinare l'incognita tracciamo, dal centro O del semicerchio, la perpendicolare al lato obliquo CB che lo incontra nel suo punto medio K.
I due triangoli rettangoli BHC e OKB sono simili in quanto hanno l'angolo in B in comune. Possiamo perciò impostare la seguente proporzione:
HB : CB = BK : OB
Inserendo i valori dei vari segmenti essa diventa:
(4 - x) : x = x/2 : 4
Essa equivale alla seguente equazione di secondo grado:
x^2 + 8x - 32 = 0
Risolvendola si trova x = CB = 4*(sqrt(3) - 1)
L'area del trapezio è:
S = (8 + 2x)*sqrt(8x - 16)/2 = (4 + x)*sqrt(8x - 16)
Inserendo il valore di x si ottiene infine:
S = 16*sqrt(6*sqrt(3)- 9)
Spero di non aver fatto errori di calcolo.
La proiezione del lato obliquo CB sulla base maggiore AB è BH = x (perchè il triangolo BHC è rettangolo e isoscele, oppure puoi usare il teorema di Pitagora) per cui la base maggiore diventa AB = 2x.
Il perimetro del trapezio è dunque:
AB + AD + DC + CB = 2x + x + x + sqrt(2)*x = x*(4 + sqrt(2))
Uguagliando questa espressione con il valore numerico dato si ha x = 20.
L'area del trapezio è perciò S = ((2x + x)*x)/2 = 3x^2/2 = 600.
Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è 2*S/p.
Il triangolo ABC è isoscele di base 40, altezza 20 e lati 20*sqrt(2).
Il raggio perciò diventa:
40*20/(40 + 40*sqrt(2)) = 20/(1 + sqrt(2)) = 20*(sqrt(2) - 1).
2) Ponendo CB = x si ha DC = 2x.
La proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è BH = 4 - x, perciò, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BHC, si ottiene l'altezza del trapezio:
CH = sqrt(x^2 - (4 - x)^2) = sqrt(8x - 16)
Per determinare l'incognita tracciamo, dal centro O del semicerchio, la perpendicolare al lato obliquo CB che lo incontra nel suo punto medio K.
I due triangoli rettangoli BHC e OKB sono simili in quanto hanno l'angolo in B in comune. Possiamo perciò impostare la seguente proporzione:
HB : CB = BK : OB
Inserendo i valori dei vari segmenti essa diventa:
(4 - x) : x = x/2 : 4
Essa equivale alla seguente equazione di secondo grado:
x^2 + 8x - 32 = 0
Risolvendola si trova x = CB = 4*(sqrt(3) - 1)
L'area del trapezio è:
S = (8 + 2x)*sqrt(8x - 16)/2 = (4 + x)*sqrt(8x - 16)
Inserendo il valore di x si ottiene infine:
S = 16*sqrt(6*sqrt(3)- 9)
Spero di non aver fatto errori di calcolo.
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