Due polinomi uguali

[olanda2000]

Ogni libro dice : Il principio di identità per i polinomi afferma che due polinomi ridotti in forma normale sono identici se e solo se hanno lo stesso grado ed i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali.

Ma allora i due polinomi

$ a^2 +b $ e
$ b^2 +a $ sono uguali secondo la definizione! Come è possibile?

Grazie

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Penso, in questo caso, sia sottinteso che si parli di polinomi in una variabile. O che comunque si sottintenda che si parli del coefficiente del termine di un certo grado rispetto alla medesima variabile.

[gugo82]

Devi sostituire “termini dello stesso grado” con “termini aventi la stessa parte letterale”.

[marco2132k]

Volendo, la definizione che ha OP è va bene anche quando i polinomi hanno più di una variabile, ché (R[X_1,dots,X_n]) è la stessa cosa di (left(R[X_1,dots,X_{n-1}]
ight)[X_n]).

Quei polinomi lì non sono uguali, appunto: è (a^2 + b, a + b^2in(R[a])), dove il coefficiente di b^2 da una parte è zero (e a,a^2 è il coefficiente di b^0, eniuei).

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"marco2132k":Volendo, la definizione che ha OP è va bene anche quando i polinomi hanno più di una variabile, ché \(R[X_1,\dots,X_n]\) è la stessa cosa di \(\left(R[X_1,\dots,X_{n-1}]\right)[X_n]\).

Quei polinomi lì non sono uguali, appunto: è \(a^2 + b, a + b^2\in(R[a])\), dove il coefficiente di b^2 da una parte è zero (e a,a^2 è il coefficiente di b^0, eniuei).

Si, "essenzialmente" hai ragione, ma \( R[X_1,\ldots,X_{n-1}][X_n] \) è l'anello dei polinomi ad una variabile \( X_n\) a coefficienti in \(R[X_1,\ldots,X_{n-1}] \). Quindi la sua definizione va bene per anelli dei polinomi ad una variabile. E la definizione è "estendibile" ai polinomi in più variabili poiché \( R[X_1,\ldots, X_{n-1}][X_n] \cong R[X_1,\ldots,X_n] \).

ps: era quello che intendevo con "parli del coefficiente del termine di un certo grado rispetto alla medesima variabile" ma non volevo essere troppo preciso.

[gugo82]

Ricordo che siamo in una sezione dedicata alle secondarie.

[al_berto]

Ciao,
"Due polinomi si dicono uguali quando i termini del primo sono anche i termini del secondo.

Esempio:

ab + 3c – 5 ac

è un polinomio uguale a

- 5 ac + ab + 3c.

Come si può notare, i due polinomi proposti sono formati dagli stessi termini, ma questi non presentano lo stesso ordine.

Quindi, due polinomi sono uguali se sono formati dagli stessi termini, a prescindere da quello che è il loro ordine".