Due esercizi sulla probabilita

[impar0]

Se potete, aiutatemi con questi 2 esercizi grazie in anticipo.

1)In una sala vi sono 12 persone.Qual e la probabilita che 2 persone abbiano il compleanno nello stesso giorno?

2)In una interrogazione scritta, costituita da 10 domande alle quali si deve rispondere si o no qual e la probabilita di prendere almeno la sufficienza?

[issima90]

Ciao!
allora nel primo esercizio abbiamo 365 giorni di possibilità..
siccome hai reimbussolo e ordine, il numero dei casi possibili è

[math]365^{12}[/math]

Siccome è difficile considerare i compleanni di due persone uguali usiamo il complementare dell'evento che chiamiamo

[math]A^c[/math]

in cui si considera che ognuno sia nato in un giorno diverso..
Quindi se ad es una persona nasce il giorno 1, la seconda potrà nascere gli altri 364 giorni, il terzo gli altri 363 e così via..
la formula che riassume questo è quella del fattoriale decrescente:

[math]365_{12}[/math]

: questo sarà il numero di casi favorevoli.
Siccome abbiamo usato il complementare la probabilità che cerchi tu sarà

[math]P[A]=\frac{365_{12}}{365^{12}}[/math]

.
I calcoli vengono?

Aggiunto 14 minuti più tardi:

mmmmmmm....ho sbagliato io....ho calcolato la P che almeno due persone compissero gli anni nell ostesso giorno!

[BIT5]

Cominciamo a capire quale sia la probabilita' di "indovinare" il compleanno di una persona.

Questa sara' 1/365.
Quindi la probabilita' che due persone abbiano lo stesso compleanno sara' 1/365 x 1/365

Questo discorso vale se le persone fossero 2.
Se le persone fossero 3, ad esempio, avremmo..

[math] \frac{1}{365} \cdot \frac{1}{365} + \frac{1}{365} \cdot \frac{1}{365} + \frac{1}{365} \cdot \frac{1}{365} = \frac{3}{365^2} [/math]

Ovvero , dette A B C le 3 persone, la probabilita' che l'evento si verifichi per la prima coppia (AB)+ la seconda coppia (BC) + la terza coppia (CA).

Per calcolare quante combinazioni di "coppie" hai a disposizione (senza ripetizione, perche' la coppia AB e' la stessa della coppia BA) su 12 persone, prese a due a due, dovrai dunque ricordare che

[math] C_{n,k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} [/math]

Quindi le combinazioni di 12 elementi (n) presi a 2 a 2 (k) sara'

[math] C_{12,2}= \frac{12!}{2!(12-2)!}= \frac{12 \cdot 11 \cdot \no{10!}}{2 \cdot \no{10!}}= \frac{132}{2}=66 [/math]

E dunque la probabilita' dell'evento favorevole ad una coppia, dovra' essere moltiplicato per le 66 coppie che si possono formare.

Quindi la probabilita' totale sara'

[math] 66 \cdot \frac{1}{365^2}= \frac{66}{133225}=0,04954 % [/math]

Fino a qui e' chiaro?