Due esercizi di limiti.

[Anthrax606]

Ciao!
Ho alcuni dubbi su come svolgere questi due limiti:
1.

[math]lim_{x \to +\infty} x[ln(2x+1)-lnx-ln2][/math]

il risultato è

[math]\frac{1}{2}[/math]

, ma oltre ad applicare le proprietà dei logartmi non so come proseguire (o se sia corretto applicarle).

2.

[math]lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{ln(1+x)}[/math]

ho provato ad addizionare al numeratore +1-1 e dividere tutto per x per poter applicare i limiti notevoli, ma non mi torna o non so se sia corretto. Risultato 2.

[GiovanniPalama]

Ciao Anthrax,
per il primo limite secondo me potresti provare a procedere nel seguente modo:

[math]lim_{x \to +\infty} x[ln(2x+1)-(lnx+ln2)]=lim_{x \to +\infty} x[ln(2x+1)-ln(2x)]=lim_{x \to +\infty} x[ln\frac{2x+1}{2x}]=lim_{x \to +\infty}x[ln(1+\frac{1}{2x})][/math]

Arrivato a questo punto potresti provare a fare una sostituzione:

[math]\frac{1}{2x}=t => t\to 0[/math]

Quindi riscrivo il limite nel seguente modo: (nel passaggio finale applico il limite notevole per il logaritmo)

[math]lim_{t \to 0}\frac{1}{2t}[ln(1+t)] = lim_{t \to 0}\frac{1}{2}[\frac{ln(1+t)}{t}] = \frac{1}{2}[/math]

Per il secondo esercizio invece posso riscrivere il tutto come:

[math]lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{ln(1+x)} = lim_{x \to 0} \frac{e^x- \frac{1}{e^{x}}}{ln(1+x)}= lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}- 1}{e^{x}ln(1+x)}[/math]

A questo punto moltiplico e divido per 2x ed ottengo:

[math]lim_{x \to 0} [\frac{2x}{2x}\frac{e^{2x}- 1}{e^{x}ln(1+x)}]=lim_{x \to 0} [\frac{e^{2x}- 1}{2x}\frac{2x}{e^{x}ln(1+x)}]=lim_{x \to 0} [\frac{e^{2x}- 1}{2x}\frac{2}{e^{x}\frac{ln(1+x)}{x}}][/math]

Applichiamo i due limiti notevoli

[math]lim_{x \to 0} [\frac{e^{2x}- 1}{2x}]=1[/math]

;

[math]lim_{x \to 0} [\frac{ln(1+x)}{x}]=1[/math]

;


e ricordando che:

[math]lim_{x \to 0} e^x=1[/math]

allora si ottiene che:

[math]lim_{x \to 0} [\frac{e^{2x}- 1}{2x}\frac{2}{e^{x}\frac{ln(1+x)}{x}}]=2[/math]

Spero di esserti stato utile :hi