Due esercizi con i radicali...
Ciao a tutti,
ho delle perplessità sui due seguenti esercizi.
$(1-sqrt(2))sqrt(2)$
$sqrt[(1-sqrt(2))^2(sqrt(2))]$
$sqrt[(3-2sqrt(2))(sqrt(2))]$
$sqrt[3sqrt(2)-2(sqrt(2))^2]$
$sqrt[3sqrt(2)-4]$
A questo punto credo di aver finito, invece il libro riporta come soluzione: $-sqrt[2(3-2sqrt(2))]$
Il secondo è simile:
$(sqrt(3)-2)sqrt(2+sqrt(3))$
$sqrt[(sqrt(3)-2)^2(2+sqrt(3))]$
$sqrt[(7-4sqrt(3))(2+sqrt(3))]$
$sqrt(14+7sqrt(3)-8sqrt(3)-12)$
$sqrt(2+7sqrt(3)-8sqrt(3))$
$sqrt(2+sqrt(3)(7-8))$
$sqrt(2-sqrt(3))$
Qua il libro invece riporta come soluzione: $-sqrt(2-sqrt(3))$
Grazie per degli input...
ho delle perplessità sui due seguenti esercizi.
$(1-sqrt(2))sqrt(2)$
$sqrt[(1-sqrt(2))^2(sqrt(2))]$
$sqrt[(3-2sqrt(2))(sqrt(2))]$
$sqrt[3sqrt(2)-2(sqrt(2))^2]$
$sqrt[3sqrt(2)-4]$
A questo punto credo di aver finito, invece il libro riporta come soluzione: $-sqrt[2(3-2sqrt(2))]$
Il secondo è simile:
$(sqrt(3)-2)sqrt(2+sqrt(3))$
$sqrt[(sqrt(3)-2)^2(2+sqrt(3))]$
$sqrt[(7-4sqrt(3))(2+sqrt(3))]$
$sqrt(14+7sqrt(3)-8sqrt(3)-12)$
$sqrt(2+7sqrt(3)-8sqrt(3))$
$sqrt(2+sqrt(3)(7-8))$
$sqrt(2-sqrt(3))$
Qua il libro invece riporta come soluzione: $-sqrt(2-sqrt(3))$
Grazie per degli input...
Risposte
Spero che la richiesta fosse "portare sotto radice"; in caso contrario, nel primo esercizio bastava fare il prodotto.
Quando porti sotto radice devi controllare il segno: se è negativo (e nei tuoi casi lo è) il meno resta fuori. Nel primo esercizio ti è poi sfuggita una radice di troppo: il primo passaggio doveva essere
$-sqrt((1-sqrt2)^2*2)$
Quando porti sotto radice devi controllare il segno: se è negativo (e nei tuoi casi lo è) il meno resta fuori. Nel primo esercizio ti è poi sfuggita una radice di troppo: il primo passaggio doveva essere
$-sqrt((1-sqrt2)^2*2)$
"giammaria":
Spero che la richiesta fosse "portare sotto radice"; in caso contrario, nel primo esercizio bastava fare il prodotto.
Quando porti sotto radice devi controllare il segno: se è negativo (e nei tuoi casi lo è) il meno resta fuori. Nel primo esercizio ti è poi sfuggita una radice di troppo: il primo passaggio doveva essere
$-sqrt((1-sqrt2)^2*2)$
Ciao,
sì, mi si chiedeva di portare il fattore esterno sotto radice.
Quindi il risultato del primo esercizio sarebbe:
$sqrt(6-4sqrt(2)) -> sqrt(2(3-2sqrt(2)))$
Ma ho notato che $6 > 4sqrt(2)$, quindi il segno del numero sotto radice rimarrebbe comunque positivo.
Anche $2 > sqrt(3)$ nel secondo esercizio.
Cos'è che non capisco?
Parlando del segno, intendevo quello del fattore che porti sotto radice; quello del radicando deve essere sempre non-negativo, altrimenti il calcolo non ha senso.
Forse la difficoltà ti deriva dal fatto che ho saltato un passaggio. Partiamo da questo fatto: si ha $a=sqrt(a^2)$ solo se $a$ è positivo o nullo. Nel tuo caso, $1-sqrt2$ è negativo, quindi non puoi portarlo direttamente sotto radice; devi invece fare
$1-sqrt2= -(-1+sqrt2)=-sqrt((-1+sqrt2)^2)$
Dentro al quadrato i segni risultano cambiati, ma non ha importanza perché devi appunto elevare a quadrato. Per questo è abbastanza abituale fare come avevo fatto io: si salta il passaggio intermedio e si scrive subito
$1-sqrt2=-sqrt((1-sqrt2)^2)$
Forse la difficoltà ti deriva dal fatto che ho saltato un passaggio. Partiamo da questo fatto: si ha $a=sqrt(a^2)$ solo se $a$ è positivo o nullo. Nel tuo caso, $1-sqrt2$ è negativo, quindi non puoi portarlo direttamente sotto radice; devi invece fare
$1-sqrt2= -(-1+sqrt2)=-sqrt((-1+sqrt2)^2)$
Dentro al quadrato i segni risultano cambiati, ma non ha importanza perché devi appunto elevare a quadrato. Per questo è abbastanza abituale fare come avevo fatto io: si salta il passaggio intermedio e si scrive subito
$1-sqrt2=-sqrt((1-sqrt2)^2)$
Ciao,
ma, sai, io ho pensato che potessi tranquillamente portare dei numeri negativi sotto il segno di radice, perché tanto li avrei contestualmente elevati al quadrato lì dentro.
Scusami, ma faccio veramente molta fatica a capire il senso dei segni negativi, soprattutto quando sono fuori le parentesi, tipo $-[-(-3+...$
Grazie.
ma, sai, io ho pensato che potessi tranquillamente portare dei numeri negativi sotto il segno di radice, perché tanto li avrei contestualmente elevati al quadrato lì dentro.
Scusami, ma faccio veramente molta fatica a capire il senso dei segni negativi, soprattutto quando sono fuori le parentesi, tipo $-[-(-3+...$
Grazie.
Hai ragione per quanto riguarda il "sotto la radice", ma non per il "fuori dalla radice". Proviamo a fare i calcoli come li hai fatti tu, ma con numeri facili: $-5=sqrt((-5)^2)=sqrt25=5$, quindi $-5=5$, evidentemente falsa. Se un numero è negativo, il suo segno resta fuori dalla radice; il calcolo precedente doveva essere modificato così: $-5=-sqrt((+-5)^2)=-sqrt25=-5$
Ho messo il $+-$ solo per evidenziare che sotto la radice (e quindi con elevazione a quadrato) il segno non ha importanza.
A scanso di equivoci, aggiungo che quello che ho scritto vale solo se l'indice di radice è pari; con indici dispari non ci sono problemi di segno.
Ho messo il $+-$ solo per evidenziare che sotto la radice (e quindi con elevazione a quadrato) il segno non ha importanza.
A scanso di equivoci, aggiungo che quello che ho scritto vale solo se l'indice di radice è pari; con indici dispari non ci sono problemi di segno.
Grazie.
Volevo chiedere se posso evitarmi di positivizzare il fattore esterno facendo questo tipo di ragionamento.
Sto moltiplicando un numero negativo per un numero positivo, perciò devo preservare il prodotto negativo. Allora metto un $-$ davanti al radicale e trasporto il fattore così com'è dentro il segno di radice. Per es.:
$(1-sqrt(2))sqrt(2) -> -sqrt((1-sqrt(2))^2*2)$
Invece di:
$(1-sqrt(2))sqrt(2) -> -(-1+sqrt(2))sqrt(2) -> -sqrt((-1+sqrt(2))^2*2)$
Il fatto è che se negativizzo $(1-sqrt(2)) ->[-(sqrt(2)+1)]$ a me viene più naturale naturale portare tutto il fattore, $-$ compreso, dentro il segno di radice, anche se in un qualche barlume di lucidità mi rendo conto che praticamente è un raccoglimento a fattor comune per $-1$.
In generale si può sopportare una quantità negativa, in una situazione del genere, sotto il segno di radice, essendo essa elevata al quadrato (come nella prima scrittura)?
Sto moltiplicando un numero negativo per un numero positivo, perciò devo preservare il prodotto negativo. Allora metto un $-$ davanti al radicale e trasporto il fattore così com'è dentro il segno di radice. Per es.:
$(1-sqrt(2))sqrt(2) -> -sqrt((1-sqrt(2))^2*2)$
Invece di:
$(1-sqrt(2))sqrt(2) -> -(-1+sqrt(2))sqrt(2) -> -sqrt((-1+sqrt(2))^2*2)$
Il fatto è che se negativizzo $(1-sqrt(2)) ->[-(sqrt(2)+1)]$ a me viene più naturale naturale portare tutto il fattore, $-$ compreso, dentro il segno di radice, anche se in un qualche barlume di lucidità mi rendo conto che praticamente è un raccoglimento a fattor comune per $-1$.
In generale si può sopportare una quantità negativa, in una situazione del genere, sotto il segno di radice, essendo essa elevata al quadrato (come nella prima scrittura)?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo