Due dubbi sulla risoluzione degli esponenziali
Salve.
Essendo nuovo del forum, colgo l'occasione per presentarmi. Mi chiamo Luigi, ho 17 anni e frequento la quarta superiore di un istituto tecnico di Padova.
Abbiamo da poco iniziato a studiare gli esponenziali. Di questi, abbiamo visto le equazioni e accennato le disequazioni. Durante lo studio, mi sono sorti due dubbi. Vorrei pertanto chiedere delucidazioni. I quesiti li presento con immagini, solo per una questione di comodità.
Primo)
E' corretto che le due equazioni esponenziali seguenti diano lo stesso risultato, pur avendo addizioni al posto di moltiplicazioni?
https://s14.postimg.org/satkxu1nl/photo ... _58_40.jpg
Secondo)
Facendo qualche esercizio, sono incappato in uno, con due apparenti soluzioni
... Dal libro capisco che una qualsiasi base elevata a "2x", può corrispondere sia alla base stessa elevata al numero, e successivamente il tutto alla "x", che alla base stessa elevata alla "x", elevato nuovamente alla seconda (nell'immagine, quadrato in rosso). Non riesco a capire quale sia la risoluzione corretta.
https://s14.postimg.org/mfcbkuklt/photo ... _05_57.jpg
Potreste cortesemente aiutarmi?
P.S. Perdonate l'orrenda calligrafia
Essendo nuovo del forum, colgo l'occasione per presentarmi. Mi chiamo Luigi, ho 17 anni e frequento la quarta superiore di un istituto tecnico di Padova.
Abbiamo da poco iniziato a studiare gli esponenziali. Di questi, abbiamo visto le equazioni e accennato le disequazioni. Durante lo studio, mi sono sorti due dubbi. Vorrei pertanto chiedere delucidazioni. I quesiti li presento con immagini, solo per una questione di comodità.
Primo)
E' corretto che le due equazioni esponenziali seguenti diano lo stesso risultato, pur avendo addizioni al posto di moltiplicazioni?
https://s14.postimg.org/satkxu1nl/photo ... _58_40.jpg
Secondo)
Facendo qualche esercizio, sono incappato in uno, con due apparenti soluzioni
... Dal libro capisco che una qualsiasi base elevata a "2x", può corrispondere sia alla base stessa elevata al numero, e successivamente il tutto alla "x", che alla base stessa elevata alla "x", elevato nuovamente alla seconda (nell'immagine, quadrato in rosso). Non riesco a capire quale sia la risoluzione corretta.https://s14.postimg.org/mfcbkuklt/photo ... _05_57.jpg
Potreste cortesemente aiutarmi?
P.S. Perdonate l'orrenda calligrafia
Risposte
Ciao, ti consiglio di dare un'occhiata al regolamento perché è preferibile non inserire immagini ma scrivere le formule nel modo in cui leggerai 
Comunque partiamo dalla prima: le due equazioni non hanno assolutamente le stesse soluzioni in quanto solo una di esse è determinata. Infatti:
$2^x+2^2=2 rarr 2^x=2-4=-2$ che è impossibile poiché gli esponenziali danno sempre risultati positivi!
$2^x*2^2=2 rarr x+2=1$ e quindi $x=-1$.
Fin qui hai dubbi?
Comunque partiamo dalla prima: le due equazioni non hanno assolutamente le stesse soluzioni in quanto solo una di esse è determinata. Infatti:
$2^x+2^2=2 rarr 2^x=2-4=-2$ che è impossibile poiché gli esponenziali danno sempre risultati positivi!
$2^x*2^2=2 rarr x+2=1$ e quindi $x=-1$.
Fin qui hai dubbi?
Parlando della seconda invece, non capisco il secondo metodo: in entrambe le interpretazioni che dai, devi sempre moltiplicare il $2$ per la $x$ dell esponente, quindi direi che il risultato corretto è il primo (come puoi anche verificare sostituendo $1/3$ nell'equazione di partenza)
Intanto vorrei scusarmi per aver postato le immagini.
Poi.. Quello che intendo con il primo esempio è se gli esponenziali "funzionano anche con somme e moltiplicazioni". L'esempio che ho fatto è sbagliato, ma, ad esempio, facendo $2^2+2=2^x$ posso (senza eseguire i calcoli a sinistra) calcolare la "x"? Oppure gli esponenziali valgono solamente per termini moltiplicati tra di loro (ad esempio $2^2*2=2^x$)? (So che l'esempio è banale, ma è giusto per capire)
Con il secondo non capisco sinceramente, perchè se vale la proprietà descritta nel riquadro in rosso, allora entrambe le soluzioni dovrebbero essere corrette, ed è questo che non mi chiaro. Tant'è che il risultato del libro corrisponde alla soluzione di sinistra.
Poi.. Quello che intendo con il primo esempio è se gli esponenziali "funzionano anche con somme e moltiplicazioni". L'esempio che ho fatto è sbagliato, ma, ad esempio, facendo $2^2+2=2^x$ posso (senza eseguire i calcoli a sinistra) calcolare la "x"? Oppure gli esponenziali valgono solamente per termini moltiplicati tra di loro (ad esempio $2^2*2=2^x$)? (So che l'esempio è banale, ma è giusto per capire)
Con il secondo non capisco sinceramente, perchè se vale la proprietà descritta nel riquadro in rosso, allora entrambe le soluzioni dovrebbero essere corrette, ed è questo che non mi chiaro. Tant'è che il risultato del libro corrisponde alla soluzione di sinistra.
Perdonami avevo frainteso, evidentmente le proprietà degli esponenziali (e quindi delle potenze) si applicano solo con moltiplocazioni e divisioni. Nei in cui ci sia l'addizione molto spesso devi usare il ragionamento o i logaritmi, ma non corriamo troppo 
Per quanto riguarda la seconda tu hai $9^(1-x^2)$: se lo vedi come $(3^2)^(1-x^2)$ allora è equivalente a $3^(2*(1-x^2))$, se lo consideri come $(3^(1-x^2))^2$ comunque hai $3^((1-x^2)*2)$.
Per quanto riguarda la seconda tu hai $9^(1-x^2)$: se lo vedi come $(3^2)^(1-x^2)$ allora è equivalente a $3^(2*(1-x^2))$, se lo consideri come $(3^(1-x^2))^2$ comunque hai $3^((1-x^2)*2)$.
Grazie mille per la risposta alla prima domanda.
Quanto alla seconda.. Quello che intendo io è che SE vale la proprietà al centro, allora l'x alla seconda posso vederlo anche come 2x. In questo caso, come hai detto anche tu, è corretta quella di destra.
Non capisco per quale motivo, però, il libro presenta come due soluzioni le stesse della risoluzione di sinistra.
Quanto alla seconda.. Quello che intendo io è che SE vale la proprietà al centro, allora l'x alla seconda posso vederlo anche come 2x. In questo caso, come hai detto anche tu, è corretta quella di destra.
Non capisco per quale motivo, però, il libro presenta come due soluzioni le stesse della risoluzione di sinistra.
Non ci siamo ... conosci la proprietà delle potenze che si chiama "potenza di potenza" ? Ecco, quella devi ripassare ...
$x^2$ è una potenza, $(x^2)^3$ è una potenza di una potenza che equivale a $x^(2*3)=x^6$
$x^2$ è una potenza, $(x^2)^3$ è una potenza di una potenza che equivale a $x^(2*3)=x^6$
"axpgn":
Non ci siamo ... conosci la proprietà delle potenze che si chiama "potenza di potenza" ? Ecco, quella devi ripassare ...
$x^2$ è una potenza, $(x^2)^3$ è una potenza di una potenza che equivale a $x^(2*3)=x^6$
Se non ho frainteso.. Va quindi sempre moltiplicato, avendo $2x$, che segue la risoluzione di destra, con soluzione $1/3$. Sarebbe quindi il libro ad aver sbagliato...
Dico bene?
Non ho capito niente ... faresti il favore di scrivere in formule? Peraltro mi pare che tu non abbia dimestichezza con le proprietà delle potenze, il che è grave dato che si imparano alle medie e sono fondamentali ... postare qui va bene ma ti consiglio di rivedere le proprietà delle potenze ...
"axpgn":
Non ho capito niente ... faresti il favore di scrivere in formule? Peraltro mi pare che tu non abbia dimestichezza con le proprietà delle potenze, il che è grave dato che si imparano alle medie e sono fondamentali ... postare qui va bene ma ti consiglio di rivedere le proprietà delle potenze ...
Diciamo che con le potenze non sono mai andato particolarmente d'accordo
. Ma la questione è un'altra..Da quello che capisco dalle tue risposte precendenti, se c'è una potenza elevata ad un'altra, è sempre meglio moltiplicarle tra di loro, invece che tenerle come sono: avendo ad esempio $(2^x)^2$ è meglio scriverla sempre come $2^(2x)$.
Quanto alla domanda.. Se guardi la seconda immagine del primo post, la risoluzione corretta è quella di destra, giusto? Se si, perchè quella di sinistra non è una "via percorribile"?
Chiedo questo perchè nel libro di testo, la due soluzioni corrispondono alla risoluzione di sinistra, e non riesco a capire ancora quale sia giusto tra i due "metodi".
"ginofocaccino":
... Diciamo che con le potenze non sono mai andato particolarmente d'accordo
Mi spiace, caro mio, ma è meglio se te le fai piacere se vuoi andare avanti ...
... almeno le proprietà fondamentali, che riporto:1) prodotto di potenze con la stessa base: $a^m*a^n=a^(m+n)$
2) quoziente di potenze con la stessa base: $a^m/a^n=a^(m-n)$
3) prodotto di potenze con lo stesso esponente: $a^m*b^m=(ab)^m$
4) quoziente di potenze con lo stesso esponente: $a^m/b^m=(a/b)^m$
5) potenza di potenza: $(a^m)^n=a^(m*n)$
"ginofocaccino":
... se c'è una potenza elevata ad un'altra, è sempre meglio moltiplicarle tra di loro, invece che tenerle come sono ...
No, perché? Dipende dalla necessità, da quello che devi fare, anzi la capacità di passare da una situazione ad un'altra più "favorevole" è una qualità, rimanere vincolati ad uno schema fisso può essere uno svantaggio ...
"ginofocaccino":
... Quanto alla domanda.. Se guardi la seconda immagine del primo post, la risoluzione corretta è quella di destra, giusto? Se si, perchè quella di sinistra non è una "via percorribile"?
Chiedo questo perchè nel libro di testo, la due soluzioni corrispondono alla risoluzione di sinistra, e non riesco a capire ancora quale sia giusto tra i due "metodi".
Premesso che ti è già stato detto che il regolamento prevede che tu scriva testo e svolgimento (non hai idea di quanto sia scomodo "switchare" avanti e indietro per capire ...), premesso altresì che ancora non mi è chiarissimo quello che vuoi dire, nella seconda immagine, lo svolgimento di sinistra è quello corretto (mancherebbe un passaggio, chiave tra l'altro, ma va bene lo stesso) mentre quello di destra non si capisce da dove l'hai tirato fuori ...
Cordialmente, Alex
È corretta quella a sinistra. A volte le parentesi cambiano tutto poiché c'è una grossa differenza tra $3^(3^2)$ e $(3^3)^2$, o nel nostro caso tra $3^(x^2)$ e $(3^x)^2$.
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