Due domande sulla matrice hessiana.
Salve. Volevo chiarire due due dubbi sulla matrice hessiana.
Dunque. Supponiamo che il determinante della mia matrice hessiana sia maggiore di 0. Dunque avrei un minimo relativo se $f_(x x)>0$, avrei un massimo relativo se $f_(x x)<0$.
La domanda è: cosa succede nel caso $f_(x x)=0$?
Poi ho questo dubbio. Ho una funzione a due variabili. $f(x,y)=2x^2+xy-y$. Trovo un punto stazionario in $(1;-4)$. Faccio l'hessiana (e sostituisco la x con 1 ma non la y con -4 perchè la y non c'è più) e mi viene che il determinante è -1, dunque ho un punto di sella in $(1;-4)$. Qui il dubbio che mi viene è: nel caso in cui nell'hessiana non avessi nè x nè y da sostituire, il punto stazionario sarebbe comunque un punto di sella?
Dunque. Supponiamo che il determinante della mia matrice hessiana sia maggiore di 0. Dunque avrei un minimo relativo se $f_(x x)>0$, avrei un massimo relativo se $f_(x x)<0$.
La domanda è: cosa succede nel caso $f_(x x)=0$?
Poi ho questo dubbio. Ho una funzione a due variabili. $f(x,y)=2x^2+xy-y$. Trovo un punto stazionario in $(1;-4)$. Faccio l'hessiana (e sostituisco la x con 1 ma non la y con -4 perchè la y non c'è più) e mi viene che il determinante è -1, dunque ho un punto di sella in $(1;-4)$. Qui il dubbio che mi viene è: nel caso in cui nell'hessiana non avessi nè x nè y da sostituire, il punto stazionario sarebbe comunque un punto di sella?
Risposte
Se $f_(x x)$ fosse uguale a 0, SICURAMENTE il determinante della matrice hessiana non potrebbe essere maggiore di 0. Ti faccio infatti notare che:
$H=f_(x x)f_(yy)-(f_(xy))^2$
Se valesse $f_(x x)=0$, avresti $H=-(f_(xy))^2$ che è sempre negativa, o, al più, pari a 0! Quindi o hai una sella o un punto di cui non ne puoi determinare la natura. Per la seconda domanda, che intendi? Un hessiano non dipendente dalla x nè dalla y?
$H=f_(x x)f_(yy)-(f_(xy))^2$
Se valesse $f_(x x)=0$, avresti $H=-(f_(xy))^2$ che è sempre negativa, o, al più, pari a 0! Quindi o hai una sella o un punto di cui non ne puoi determinare la natura. Per la seconda domanda, che intendi? Un hessiano non dipendente dalla x nè dalla y?
"Lele0012":
Se $f_(x x)$ fosse uguale a 0, SICURAMENTE il determinante della matrice hessiana non potrebbe essere maggiore di 0. Ti faccio infatti notare che:
$H=f_(x x)f_(yy)-(f_(xy))^2$
Se valesse $f_(x x)=0$, avresti $H=-(f_(xy))^2$ che è sempre negativa, o, al più, pari a 0! Quindi o hai una sella o un punto di cui non ne puoi determinare la natura. Per la seconda domanda, che intendi? Un hessiano non dipendente dalla x nè dalla y?
Grazie per la risposta alla prima domanda.
Per la seconda: intendo proprio un hessiano in cui per caso non hai nè x nè y e quindi non puoi sostiuire i valori del punto stazionario, dunque credo non dipendente nè dalla x nè dalla y. Credo possa capitare, e nel caso non saprei come procedere con l'analisi del punto stazionario.
Suppongo che, se la matrice hessiana è indipendente da x e da y, significa che è valida per qualsiasi punto, dunque anche per i punti di minimo/massimo, a cui applichi gli stessi criteri 
Ti faccio l'esempio del paraboloide, la funzione
$f(x,y)=x^2+y^2$
Il gradiente si annulla in $(0,0)$, che è in punto critico. La matrice hessiana, come vedi, è costante:
$((2,0),(0,2))$
Il cui determinante è 4, positivo: poiché $f_(x x)$ è anch'esso positivo (non solo nel punto critico, ma per qualsiasi punto, e dunque ANCHE nel punto critico), il punto $(0,0)$ è di minimo: sarebbe ol vertice del paraboloide!
Ti faccio l'esempio del paraboloide, la funzione
$f(x,y)=x^2+y^2$
Il gradiente si annulla in $(0,0)$, che è in punto critico. La matrice hessiana, come vedi, è costante:
$((2,0),(0,2))$
Il cui determinante è 4, positivo: poiché $f_(x x)$ è anch'esso positivo (non solo nel punto critico, ma per qualsiasi punto, e dunque ANCHE nel punto critico), il punto $(0,0)$ è di minimo: sarebbe ol vertice del paraboloide!
Grazie!
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