Due disequazioni logaritmiche -Errore del libro?

[fantomius2]

Salve sto riscontrando problemi nela risoluzioni di queste due disequazioni e sto pensando che non sia dovuto ad un mio errore.
Mi sto preparando per l'esame di analisi 1 e ho pensato che non posso andare avanti senza avere delle solide basi e quindi eccomi qui a chiedere il vostro gentile aiuto!
$ln[(x-3)^2+x(x+1)+1]>ln(-x^2+3x-2) $
risultato: $1
Questa l'ho svolta come una semplice disequazoini di secondo grado visto che abbiamo logaritmo sia a sinistra che a destra ( che poi per quale proprietà si elidono?), ma niente , non mi trovo.

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$3ln^2x^3+3lnx^2-33>0$(maggiore o uguale a zero, non so come fare il simbolo!)

questa ho posto lnx=t ma niente... mah!
Heeeelp

[Zero87]

Il logaritmo si può togliere se è a sinistra e a destra (come per l'esponenziale) per il fatto che sono delle funzioni iniettive, quindi mappano valori differenti con valori differenti. Si può togliere il logaritmo in ambo i membri elevando alla "$e^{...}$" ambo i membri.

Una precisazione: in un membro hai scritto "log" mentre nell'altro hai scritto "ln". E' un errore di battitura?
Te lo dico perché da noi al liceo si intendeva con "log" il logaritmo in base 10 mentre con "ln" il logaritmo in base $e$.

In quel caso non puoi toglierli così "aggratisse", devi prima operare un cambio di base (di uno dei due) per portarli a basi uguali.

"fantomius":

$3ln^2x^3+3lnx^2-33>0$(maggiore o uguale a zero, non so come fare il simbolo!)

E' molto semplice (il simbolo, l'equazione meno ).
-Se digiti "\ge" hai "$\ge$". Per ricordarlo pensa all'acronimo inglese "Great-Equal" cioè maggiore-uguale appunto.
-Se digiti "\le" hai "$\le$". Per ricordarlo pensa a "Less-Equal".
Questi due simboli li ho imparati sul fortran e ho scoperto che per il latex vale lo stesso.

Comunque, tornando all'equazione precedente prova, innanzitutto, a vedere se succede qualcosa utilizzando la proprietà: $log (x^\alpha)=\alpha log(x)$...
(prima di effettuare la sostituzione intendo)...

Ciaociao

[@melia]

"fantomius":
$log[(x-3)^2+x(x+1)+1]>ln(-x^2+3x-2) $ risultato: $1
Questa l'ho svolta come una semplice disequazoini di secondo grado visto che abbiamo logaritmo sia a sinistra che a destra ( che poi per quale proprietà si elidono?), ma niente , non mi trovo.

Hai impostato le condizioni di esistenza dei logaritmi?

"fantomius":$3ln^2x^3+3lnx^2-33>=0$ in questa ho posto lnx=t .

Prima di tutto le condizioni di esistenza dei logaritmi che sono $x>0$, poi trasformiamo l'equazione in modo da poter applicare la sostituzione da te proposta: $3(lnx^3)^2+3*2lnx-33>=0$
$3(3lnx)^2+6lnx-33>=0$ adesso siamo nelle condizioni di poter applicare la sostituzione.

[fantomius2]

ops nel primo era ln > ln , ora modifico !

Io questi maledetti logaritmi non li capisco!
Cioè se ho ln da una parte e ln dall'altra quando vado a togliere che faccio?
Quando mi trovo in una sitauzione tipo $logx>1/2$ (LOG con base 1/2) come agisco?

Vabè per non sforare troppo...nella seconda disequazione ho applicato l'applicabile ma mi trovo sempre durante la risoluzione della disequazione di secondo grado una radice negativa !
$3ln^2x^3+3lnx^2-33\ge0
$9ln^2x+6lnx-33\ge0
$9y^2+6y-33\ge0$

è errato come procedimento?
Nella prima no, non ho calcolato il c.e... rimane il fatto che non riesco proprio a risolvere quella banale disequazione..
grazie per l'aiuto!

[Zero87]

"fantomius":
$3ln^2x^3+3lnx^2-33\ge0
$9ln^2x+6lnx-33\ge0
$9y^2+6y-33\ge0$

Ha ragione @melia, servono prima di tutto le condizioni di esistenza (si vede che è da tanto che non faccio queste cose...)

Comunque il procedimento non è del tutto giusto perché compare un $ln^2$ che non è come il logaritmo normale ma un logaritmo al quadrato.

Cioè, $\ln x^\alpha=\alpha lnx$ e fino a quì ok, però $ln^2 x^\alpha=(lnx^\alpha)^2=(\alpha lnx)^2$...

Ah, questa cosa l'ha scritta anche @melia (non me ne ero accorto).

[@melia]

Nella disequazione che hai impostato hai perso un 3, fai con attenzione tutti i passaggi, viene $27y^2+6y-33>=0$

In generale quando c'è una disequazione del tipo $log_a f(x)>log_a g(x)$ devi prima imporre la positività degli argomenti, quindi
$\{(f(x)>0),(g(x)>0),(f(x)>g(x)),(se\ \a>1):}$ e $\{(f(x)>0),(g(x)>0),(f(x) Inoltre ti ricordo che $log_a a=1$ con $a>0 ^^ a!=1$, quindi l'ultima che hai postato $log_(1/2) x>1/2$ diventa $log_(1/2) x>1/2* log_(1/2) 1/2$ cioè $log_(1/2) x>log_(1/2) (1/2)^(1/2)$

[fantomius2]

grazie, non sapevo applicare bene il quadrato del logaritmo , ora da quella disequazione mi trovo $t<-11/9 U t>1$ e non riesco a trovarmi con il risultato...praticamente come devo svolgere ora che ho a che fare un logaritmo naturale ?

Riguardo il sistema, quando tratto $log_af(x)>log_ag(x) $ non mi basta imporre la positività degli argomenti dei due logaritmi e basta per poi svolgere normalmente?

[@melia]

"fantomius":grazie, non sapevo applicare bene il quadrato del logaritmo , ora da quella disequazione mi trovo $t<-11/9 U t>1$ e non riesco a trovarmi con il risultato...praticamente come devo svolgere ora che ho a che fare un logaritmo naturale ?

Puoi leggere il consiglio che ti ho dato per calcolare la disequazione con il logaritmo in base $1/2$.

"fantomius":Riguardo il sistema, quando tratto $log_af(x)>log_ag(x) $ non mi basta imporre la positività degli argomenti dei due logaritmi e basta per poi svolgere normalmente?

Che è esattamente quello che ho scritto.

[Zero87]

"@melia":Nella disequazione che hai impostato hai perso un 3, fai con attenzione tutti i passaggi, viene $27y^2+6y-33>=0$

Solo per evitare confusioni specifico che il 3 che si è perso è quello che dicevo io nella risposta precedente (del fatto che c'è un "$ln^2$").

[EDIT]. Pardon, non avevo visto le 2 successive risposte. E' filato tutto liscio, meglio così... Ciaociao

[@melia]

Ho pensato che avesse perso il 3 iniziale, ma che avesse letto e messo in pratica il mio consiglio. Tuttavia dalla domande successive mi sono accorta che hai ragione tu.

[fantomius2]

Grazie mille , risolto e fatto anche tutti gli esercizi dopo !

[fantomius2]

Pensavo di aver risolto e invece no....!! Eccomi di nuovo qui a chiedere aiuto...!

$log(x^2-4)+3 \ge 0$

Come può darmi come risultato $x ≤ - sqrt e^3 + 4 U x\ge + sqrt e^3 + 4$ ?

Non stiamo trattando un logaritmo naturale perchè mai dovrei avere '' e '' ?

poi ecco un'altra...

$5-3logx>0 $
$3logx<5$
$3logx<5log10$
$3x<50$
$x<50/3$

il risultato è invece $e^5|3$ (e elevato alla $5/3$)
.... poi un dubbio.... se ho $3logx> log10$ questo è uguale a $3x >10$ oppure a $x^3 >10$ ?

cos'è che non ho ancora capito? uffa

[@melia]

Sei caduto anche tu nella trappola. In inglese il logaritmo naturale si indica con $ln$ e quello in base 10 con $log$, ma in italiano il logaritmo naturale si indica con $log$ e quello in base 10 con $Log$ con l'iniziale maiuscola. Ormai la maggior parte usa la notazione anglosassone, ma alcuni puristi, come l'autore del tuo libro, continuano ad utilizzare quella italiana.

Per il tuo ultimo dubbio, la seconda che hai detto.

[fantomius2]

no , il libro a me porta ln per il logaritmo naturale.Allora evidentemente è un errore di traccia...

mi chiedo ora ..

$5-3logx>0 $
è quindi:

$5-3lnx>0 $
come può uscire $e^5|3$ (5/3)? o_o

[@melia]

Probabilmente il testo è stato scritto in due trance, con due formalismi diversi, comunque partiamo da $5-3lnx>0 $
$3lnx<5$
$ln x^3<5 ln e$
$ln x^3 $x^3 $(x^3)^(1/3)<(e^5)^(1/3)$
$x

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[fantomius2]

Grazie per l'aiuto,ora è chiaro.


ho da calcolare il dominio di una funzione sotto radice , ho a numeratore: $log(x+1)+2x$ a numeratore $log|x|$ , imposto quindi tutta la frazione maggiore o uguale a zero.
Il denominatore è sempre verificato mentre nel numero ho problemi:

$log(x+1)\ge -2x $

(tratta log come logaritmo naturale, avevate ragione!Il risultato è infatti $]1,(1-e^2)/e^2[ U ]1,∞[$
come si svolge in questo caso?
...ho provato un po' di tutto ma niente...maledetti log.

[@melia]

Hai provato a scrivere correttamente il testo?
Secondo me hai fatto degli errori sia scrivendo il testo dell'esercizio, che scrivendone la soluzione riportata dal libro. Cortesemente puoi ricontrollare il tutto per piacere?

Io direi che il testo è $f(x)=sqrt((log(x+1)+2)/(log|x|))$

mentre la soluzione è $]0,(1-e^2)/e^2[ U ]1,+oo[$

[fantomius2]

"@melia":Hai provato a scrivere correttamente il testo?
Secondo me hai fatto degli errori sia scrivendo il testo dell'esercizio, che scrivendone la soluzione riportata dal libro. Cortesemente puoi ricontrollare il tutto per piacere?

Io direi che il testo è $f(x)=sqrt((log(x+1)+2)/(log|x|))$

mentre la soluzione è $]0,(1-e^2)/e^2[ U ]1,+oo[$

Avevo sbagliato una parte del risultato.
Riporto di nuovo tutto:

$f(x)=sqrt((log(x+1)+2x)/(log|x|))$ <--tutto sotto radice
Sì, non è 2, ma 2x ...è lì il problema ! doh!
e riecco invece il risultato:
$]-1,(1-e^2)/e^2[ U ]1,+oo[$

[@melia]

Prima cosa, la freccetta che precisa "tutto sotto radice" mi fa pensare che ti manchi un plug in di firefox per cui vedi male le radici
Seconda cosa, il risultato che hai postato non è il dominio del tuo esercizio, ma quello dell'esercizio che ho scritto io, il dominio del tuo esercizio è $]-1,01,+oo[$

[fantomius2]

Quindi è un errore del libro, perchè mi porta come risultato quello scritto da me ...!
Ci sono uscito pazzo..

Comunque il dubbio rimane: come si risolve il numeratore $\ge0$ ?

Riguardo la radice...la vedo solo a numeratore senza che arrivata a ''toccare'' il denominatore
Grazie ancora per la disponibilità

[@melia]

Il dominio della funzione
$f(x)=sqrt((log(x+1)+2)/(log|x|))$
si traduce nella disequazione $(log(x+1)+2)/(log|x|)>=0$ della quale devi fare lo studio dei segni del numeratore e del denominatore, ma, siccome compaiono dei logaritmi e non dei polinomi, oltre allo studio dei segni devi anche individuare le condizioni di esistenza dei logaritmi che vi compaiono, perciò sapendo che $log(x+1)$ esiste per $x> -1$ e $log|x|$ per $x!=0$, lo studio dei segni che ti accingi a svolgere esiste solo per $x> -1 ^^ x!=0$