[Dubbio Teoria] Fattorizzare un polinomio

[LucaMos1]

Ho un dubbio, molto banale a dir il vero..

E' corretto dire:
"Un qualsiasi polinomio $P(x)$ di grado $n$, può essere fattorizzato conoscendo le sue $n$ radici, come:
$P(x)=(x- \alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_(n-1))(x-\alpha_n)$ ?

[@melia]

Nei complessi è vero, nei reali, invece, devi prevedere anche fattori di secondo grado, non scomponibili in R.

[LucaMos1]

"@melia":Nei complessi è vero, nei reali, invece, devi prevedere anche fattori di secondo grado, non scomponibili in R.

Grazie!

Ma questo è valido per qualsiasi coefficiente di $x^0, x^1, ..., x^(n-1), x^n$?

($a != 0$ (Dato per $a$ il coefficiente di $x^n$))

Cioè, manca un fattore "$a$", oppure no?

[Caenorhabditis]

"LucaMos":
Ma questo è valido per qualsiasi coefficiente di $x^0, x^1, ..., x^(n-1), x^n$?

No. Nel campo dei reali è possibile, ma non sicuro, che le radici -contate con molteplicità- siano esattamente $n$; nei complessi sì.

[LucaMos1]

"Caenorhabditis":[quote="LucaMos"]
Ma questo è valido per qualsiasi coefficiente di $x^0, x^1, ..., x^(n-1), x^n$?

No. Nel campo dei reali è possibile, ma non sicuro, che le radici -contate con molteplicità- siano esattamente $n$; nei complessi sì.[/quote]
Scusami, mi sono espresso male.

Diciamo che conosciamo tutte le radici $n$ di un polinomio di grado $n$. (Per ora non importa quali siano, o quali appartengano a $R$ o $C$)

La scomposizione corretta è: $P(x)=(x- \alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_(n-1))(x-\alpha_n)$
Oppure: $P(x)=a*(x- \alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_(n-1))(x-\alpha_n)$ (Con $a$ coefficiene di $x^n$)

Cioè la formula più generale possibile, qual'è?

[@melia]

La seconda che hai scritto.

[LucaMos1]

"@melia":La seconda che hai scritto.

Grazie