Dubbio sulle frazioni algebriche

[HowardRoark]

Stavo riflettendo sulla divisione tra polinomi, confrontandola con quella usuale tra numeri. In particolare, $(45n+50m):(n+m) = 45+ (5m)/(n+m)$, dove il resto è $5m$ e $(n+m)$ è il divisore. Tra numeri però, se non voglio scrivere il risultato col resto, posso sempre continuare la divisione, aggiungendo uno $0$ al resto parziale. Ad esempio $12:7=1+5/7$ o equivalentemente $12:7=1,\bar(714285)$. Posso avere una scrittura analoga a quest'ultima anche con le frazioni algebriche?

[HowardRoark]

Credo sia una domanda un po' scema, perché i numeri sono adimensionali per definizione mentre i polinomi possono indicare una massa + una velocità o qualsiasi altra cosa[nota]in particolare, con la divisione tra numeri aggiungo uno $0$ al resto parziale per via del nostro sistema posizionale, e mi chiedevo se ci fosse una cosa simile anche tra polinomi[/nota] (nel mio esempio $n$ indica il numero di "soci" e $m$ il numero di "non soci"), e quindi il problema che ho io non avrebbe molto senso porselo, però siccome su queste cose non ne so molto intanto chiedo, magari imparo qualcosa di interessante.

[@melia]

Secondo me lavorare con i polinomi è un po' come lavorare con i numeri naturali. Nei numeri naturali non puoi continuare con i decimali. Già la scrittura $12:7=1+5/7$ mi sembra un qualcosa che va al di fuori della divisione con resto (che funziona appunto con i numeri naturali), continuare poi con il numero decimale ti porta totalmente fuori dai numeri naturali e passi ad un tipo diverso di operazione. Non credo che il giochino (cioè passare da un insieme numerico ad un altro) possa funzionare con i polinomi.

[ghira1]

Se proprio _vuoi_ potresti continuare con $x^{-1}$, $x^{-2}$ e così via in quanto dici che è come le cifre come la virgola? Non lo farei con un esercizio di questo tipo in circostanze normali ma molti anni fa in un corso di teoria approssimazioni forse ho visto passare dai polinomi alle serie di potenze. Le serie di Laurent, https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Laurent , altro contesto.

Non in "Scuola secondaria". È la mia memoria forse mi inganna. Il libro sulla teoria delle approssimazioni l´ho visto nel 2007 quando ho fatto il corso e poi non credo di averlo riguardato. Sarà qui da qualche parte. Non è un suggerimento per HR. Mi metto a cercarlo?

[megas_archon]

i numeri sono adimensionali per definizione mentre i polinomi possono indicare una massa + una velocità o qualsiasi altra cosa

Questa frase non significa niente presa com'è. I polinomi non "indicano una massa o una velocità"; "i polinomi" sono una successione fatta di un numero finito di coefficienti non nulli di un (semi)anello, oppure (meglio) l'anello dei polinomi \(\mathbb N\) a coefficienti interi, in un insieme $S$ di indeterminate è quella "cosa" \(\mathbb N\) equipaggiata con una funzione \(i : S\to \mathbb N\) tale per cui ogni funzione \(f : S\to A\), dove $A$ è un semianello, definisce una e una sola funzione \(f' : \mathbb N\to A\) che preserva somme e prodotti e \(f'(i(s))=f(s)\).

Non ci sono unità di misura in questa definizione.

[HowardRoark]

"megas_archon":

Questa frase non significa niente presa com'è. I polinomi non "indicano una massa o una velocità"; "i polinomi" sono una successione fatta di un numero finito di coefficienti non nulli di un (semi)anello, oppure (meglio) l'anello dei polinomi \(\mathbb N\) a coefficienti interi, in un insieme $S$ di indeterminate è quella "cosa" \(\mathbb N\) equipaggiata con una funzione \(i : S\to \mathbb N\) tale per cui ogni funzione \(f : S\to A\), dove $A$ è un semianello, definisce una e una sola funzione \(f' : \mathbb N\to A\) che preserva somme e prodotti e \(f'(i(s))=f(s)\).

Non ci ho capito quasi nulla ma ti ringrazio per la precisazione.

[HowardRoark]

Comunque ringrazio tutti per gli interventi, ma questa cosa è meglio che me la riveda tra un paio di mesi con delle nozioni in più.

[megas_archon]

i polinomi possono indicare una massa + una velocità o qualsiasi altra cosa

Questo non significa niente.

Forse quello che volevi dire è che una quantità dimensionata (come ad esempio \(36.33 \frac{m}{s^2}\)) si scrive come un monomio [possibilmente con esponenti negativi] nelle "variabili" \(m,s\)? In questo caso, ovviamente il fatto è vero, le quantità dimensionate si scrivono così, ma i polinomi non c'entrano nulla: la struttura di cui è dotato l'insieme delle quantità dimensionate è molto diversa (e piuttosto raffinata: ne ha parlato Terry Tao qui https://terrytao.wordpress.com/2012/12/ ... -analysis/ e incidentalmente, vedi anche la discussione qui, dove ci ha pensato indipendentemente un altro scemo di guerra), e qui https://arxiv.org/abs/2108.08703 .