Dubbio sulla derivata di $a^x$
Salve ragazzi!
A volte nei problemi devo calcolare la derivata di $a^x$... io so che $Da^x = a^x lna$, o sbaglio? Perché se io la calcolo in questo modo mi vengono SEMPRE risultati sbagliati, mentre se faccio $Da^x = a^x$ (come se fosse numero di Nepero) mi viene giusto? Succede lo stesso con $Dlog_a x = 1/x log_a e$, mi escono sempre risultati sbagliati; mentre se considero solo l'$1/x$ escono giusti. Mi sto mangiando il cervello! Eppure non sono logaritmi naturali e numeri di Nepero! Potreste aiutarmi per favore?
A volte nei problemi devo calcolare la derivata di $a^x$... io so che $Da^x = a^x lna$, o sbaglio? Perché se io la calcolo in questo modo mi vengono SEMPRE risultati sbagliati, mentre se faccio $Da^x = a^x$ (come se fosse numero di Nepero) mi viene giusto? Succede lo stesso con $Dlog_a x = 1/x log_a e$, mi escono sempre risultati sbagliati; mentre se considero solo l'$1/x$ escono giusti. Mi sto mangiando il cervello! Eppure non sono logaritmi naturali e numeri di Nepero! Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
La derivata di $a^x$ è $a^x ln a$ mentre la derivata di $log_a x$ è $1/x log_a e$ come dici.
Se posti un esempio di questi esercizi che non ti vengono vediamo di trovare la soluzione!
Se posti un esempio di questi esercizi che non ti vengono vediamo di trovare la soluzione!
Ok!
Uno è questo: data $f(x)=5+logx$, devo trovare la tangente nel punto che ha ascissa $x_0=1$.
Allora, niente di più facile: tg: $ y-5 = f'(1)(x-1)$.
$Df(x)=1/x * log e$, quindi tg: $y-5 = log e(x-1)$. Il libro dice $ y = x+4$, che non sta né in cielo né in terra. Ho provato a fare i calcoli con $1/x$, e voilà, esce giusto. Che stregoneria è mai questa?
Uno è questo: data $f(x)=5+logx$, devo trovare la tangente nel punto che ha ascissa $x_0=1$.
Allora, niente di più facile: tg: $ y-5 = f'(1)(x-1)$.
$Df(x)=1/x * log e$, quindi tg: $y-5 = log e(x-1)$. Il libro dice $ y = x+4$, che non sta né in cielo né in terra. Ho provato a fare i calcoli con $1/x$, e voilà, esce giusto. Che stregoneria è mai questa?
Il fatto è che molto spesso $log$ viene confuso con $ln$ e indica il logaritmo naturale!
A proposito di questo puoi leggere il post di @melia qui.
A proposito di questo puoi leggere il post di @melia qui.
E ma allora uffa, io che perdo tempo dietro agli errori di Bergamini-Trifone-Barozzi...
In ogni caso, grazie mille!!!
In ogni caso, grazie mille!!!
E poi... un altro dubbio: $De^f(x) = e^f(x) * f'(x)$ no?
Giusto!
perfetto, e allora $De^|x| = e^|x| * D|x|$, adesso cosa faccio?
Eh non così in fretta! 
La funzione $|x|$ non è ovunque derivabile ma presenta un punto angoloso (cioè di non-derivabilità) nell'origine poichè la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra. In questo caso si dovranno distinguere i due casi, a seconda che la $x$ sia maggiore o minore di zero, ed avere quindi due funzioni, ciascuna con la sua derivata.
Aggiungo un dettaglio: formalmente la derivata di $|x|$ è la funzione $sign(x)$ definita così
$sign(x)={(1, x>0), (-1, x<0):}$. Si può notare che questa funzione non è definita per $x=0$, o meglio presenta un gradino.
In ogni caso negli esercizi conviene spezzare la funzione ed associare ad ogni pezzo la sua derivata.
La funzione $|x|$ non è ovunque derivabile ma presenta un punto angoloso (cioè di non-derivabilità) nell'origine poichè la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra. In questo caso si dovranno distinguere i due casi, a seconda che la $x$ sia maggiore o minore di zero, ed avere quindi due funzioni, ciascuna con la sua derivata.
Aggiungo un dettaglio: formalmente la derivata di $|x|$ è la funzione $sign(x)$ definita così
$sign(x)={(1, x>0), (-1, x<0):}$. Si può notare che questa funzione non è definita per $x=0$, o meglio presenta un gradino.
In ogni caso negli esercizi conviene spezzare la funzione ed associare ad ogni pezzo la sua derivata.
Wow, quella del sign(x) non l'avrei mai detta:) Se mi interroga faccio un figurone 
Grazie!
Grazie!
Allora speriamo che ti interroghi! Scherzo 
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