Dubbio sull e retti tangenti a una circonferenza

[Leonida1]

Salve!

Ho un grosso dubbio che mi assilla: come mai se abbiamo un punto P che appartiene a una circonferenza C esiste una e una sola retta passante per P e tangente a C mentre quando P è esterno a C esistono due rerre passanti per P e tangenti alla circonferenza? Per un punto non passano infinite rette?

[cozzataddeo]

Certo, per un punto passano infinite rette, però se queste rette devono soddisfare anche altre condizioni il loro numero si restringe. Se prendi due punti distinti del piano A e B ci sono infinite rette che passano per A ed infinite rette che passano per B ma solo una che passa per entrambi.
Cosí se consideri un punto esterno ad una circonferenza sono solo 2 le rette che passano per quel punto e che sono tangenti alla circonferenza: facendo un disegno ti puoi convincere intuitivamente che le cose stanno cosí. Utilizzando la geometria analitica tale affermazione si può dimostrare rigorosamente.
Con gli stessi strumenti si può provare che per un punto appartenente ad una circonferenza passa una sola tangente.

[Leonida1]

Mmm ho provato a fare il disegno ma proprio perchè è un disegno non mi convince molto. Mi servirebbe qualche dimostrazione più rigorosa.

[codino75]

se (come si dovrebbe intuitivamente evincere dalla nozione di circonferenza) la pendenza della curva tangente varia con continuita' sui punti della circonferenza, cioe' la pendenza non ha "salti", allora per uno stesso punto non possono passare 2 tangenti distinte.
spero utile

[ilyily87]

perchè il disegno non ti convince molto?
L'hai disegnato così?
P esterno alla circonferenza:


P appartenente alla circonferenza:


credo che dal disegno sia abbastanza intuitivo...

se ancora non ti convince, per verificare che le rete sono 2 passanti per P esterno, puoi:
- mettere a sistema l'equazione della circonferenza e l'equazione del fascio di rette passante per P. Visto che la sooluzione del sistema è un equazione di secondo grado, imponi il delta uguale a zero(in questo modo stai imponendo che la circonferenza ed il fascio di rette si incontrino in un sol punto, in quanto se $delta=0$ l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti)
Oppure...
sai che la retta tangente alla circonferenza è la retta del fascio tale che la sua distanza dal centro e' uguale al raggio.

Dunque puoi
- Applicare la formula della distanza punto-retta considerando come punto il centro della circonferenza e come retta il fascio per P


Spero di esserti stata utile

Ila