Dubbio sul teorema dell'esistenza degli zeri
Salve, stavo svolgendo un esercizio che mi chiedeva, data la funzione $f(x)=x^3-6x+4$ di verificare che non soddisfa il teorema dell'esistenza degli zeri in $I=[0;3]$ (ed è facile da verificare, poiché $f(0)>0 \bigvee f(3)>0$) e trovare il punto nel quale vale $f(x)=0$ (e si trova facilmente che è $x=1$) e infine spiegare perché non contraddice il teorema dell'esistenza degli zeri.
A questo punto mi domando, il teorema dice che una funzione continua assume in un intervallo $I=(a;b)$, valore 0 se a e b hanno segno opposto. Basta ed è corretto dire che se a e b hanno lo stesso segno può esserci comunque un valore uguale a 0 anche se non è applicabile il teorema degli zeri? Perché Se io posso avere una funzione continua che in -1 vale 5, in 0 vale -1 e in +1 vale 4. Non è applicabile il teorema degli zeri in $I=[-1;+1]$, però assume valore 0 da qualche parte...
È corretto questo ragionamento, se non lo è, perché?
Grazie in anticipo.
A questo punto mi domando, il teorema dice che una funzione continua assume in un intervallo $I=(a;b)$, valore 0 se a e b hanno segno opposto. Basta ed è corretto dire che se a e b hanno lo stesso segno può esserci comunque un valore uguale a 0 anche se non è applicabile il teorema degli zeri? Perché Se io posso avere una funzione continua che in -1 vale 5, in 0 vale -1 e in +1 vale 4. Non è applicabile il teorema degli zeri in $I=[-1;+1]$, però assume valore 0 da qualche parte...
È corretto questo ragionamento, se non lo è, perché?
Grazie in anticipo.
Risposte
Il teorema dell'esistenza degli zeri è una condizione sufficiente per l'esistenza, appunto, di almeno uno zero nell'intervallo considerato, ma non è una condizione necessaria.
Questa è la chiave per rispondere al quesito posto.
Ciao,
S.
Questa è la chiave per rispondere al quesito posto.
Ciao,
S.
Può essere utile sapere che il medesimo "inconveniente " si verifica se nell'intervallo considerato la funzione ( polinomio in questo caso) ha un numero pari di radici o qualche radice multipla di molteplicità pari .Ad esempio una radice doppia.Per fare un caso concreto la funzione \(\displaystyle f(x)=x^3-3x+2 \) nell'intervallo \(\displaystyle [0,2] \) ha \(\displaystyle f(0)=2>0,f(2)=4>0 \) e tuttavia essa possiede uno zero in \(\displaystyle x=1\).Il fatto è che \(\displaystyle x=1 \) è appunto una radice doppia e lo si può vedere o scomponendo \(\displaystyle f(x) \) in \(\displaystyle f(x)=(x-1)^2(x+2) \) oppure osservando che \(\displaystyle x =1 \) è anche radice (semplice) della derivata prima \(\displaystyle f'(x)=3x^2-3 \)
"mathmum":
Il teorema dell'esistenza degli zeri è una condizione sufficiente per l'esistenza, appunto, di almeno uno zero nell'intervallo considerato, ma non è una condizione necessaria.
Questa è la chiave per rispondere al quesito posto.
Ciao,
S.
Ok, allora era come pensavo. Grazie per l'aiuto.
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