Dubbio sul teorema del resto

[Asclepiade1]

Salve a tutti!
Riguardo alla divisione con resto tra due polinomi, abbiamo che $A(x)=B(x)*Q(x)+R(x)$

, dove $Q(x)$ e $R(x)$ sono rispettivamente quoziente e resto della divisione tra $A(x)$ e $B(x)$, con $B(x)\ne0$[**].

Ora, seguendo il libro di testo, se $B(x)=x-c$, ovviamente per ottenere il valore di $R(x)$ in

è sufficiente porre $x=c$.

Tuttavia questo non nega l'ipotesi [**]?

[@melia]

In effetti hai ragione, la divisione per 0 non è definita e se $B(x)=0$ la divisione non si può fare. Il nostro $B(x)=x-c$ non è la costante nulla, quindi la divisione si può eseguire e la sua soluzione viene trasformata in una moltiplicazione, in teoria essendo una divisione dovrebbe essere scritta $(A(x))/(B(x))=Q(x)+(R(x))/(B(x))$, ma la forma $A(x)=B(x)*Q(x)+R(x) $ risulta più semplice e utilizzabile. L'unica falla è nel fatto che nella dimostrazione si parla di divisioni e quindi è necessaria la condizione $B(x)!=0$.

Se il problema partisse da $A(x)=(x-c)*Q(x)+R$, senza parlare di divisioni, la soluzione $A(c)=R$ sarebbe compatibile perché non ci sarebbero condizioni di alcun genere.

[Asclepiade1]

Avevo pensato la stessa cosa. E cioè che, per rendere possibile la dimostrazione, in

$A(x)$, $B(x)$, $Q(x)$ e $R(x)$ vanno intesi non come rispettivamente dividendo, divisore, quoziente e resto ma come generici polinomi tali, appunto, che [*].

Ad ogni modo il dubbio non è chiarito in quanto stiamo proprio parlando di divisioni con resto .
Grazie della risposta.

[@melia]

Infatti, il problema non è chiarito.

[axpgn]

A dir la verità, io non vedo problemi in quanto l'algoritmo della divisione (per come io lo conosco dai tempi dei numeri naturali ), la parola "divisione" ce l'ha solo nel titolo; tra l'altro, nella definizione, quella condizione ($B(x)!=0$) non esiste.
L'algoritmo della divisione ti dice solamente che un numero naturale può essere sempre rappresentato in modo alternativo (in quel modo alternativo). La definizione è stata poi estesa "naturalmente" ad altri "soggetti".

Cordialmente, Alex

[Asclepiade1]

Non vorrei dire una cavolata...ma se, come dici tu, il modo di rappresentare quel numero naturale deve essere unico (ossia esistono e sono unici $Q(x)$ e $R(x)$), allora $B(x)$ non può essere zero. Infatti se lo fosse, avremmo infinite coppie ordinate $(Q(x),R(x))$ che sono soluzioni dell'equazione [*].

[axpgn]

???

$A(x)=0*Q(x)+R(x)\ \ ->\ \ A(x)=R(x)$

E ricordati che NON ho diviso per zero, la divisione qui non c'è ...è solo una rappresentazione diversa.

Comunque riporto la definizione che conoscevo ...

Dati due naturali $a$ e $b$ esistono due naturali $q$ ed $r$ (con $0<=r
Cordialmente, Alex

[Asclepiade1]

"axpgn":

Dati due naturali $a$ e $b$ esistono due naturali $q$ ed $r$ (con $0<=r

Immagino tu intenda esistono e sono unici $q$ e $r$. In tal caso ribadisco quello che ho scritto nel messaggio precedente.

[axpgn]

Sottintendi male ... non funziona così in Matematica ... ... d'altra parte, in pratica è vero che sono unici, l'unica eccezione sarebbe $q$ quando $b=0$ ma del quale, in tal caso, "non ce ne può importare di meno" ...