Dubbio sui simboli $>=$, $<=$
Mi è venuta in mente una cosa abbastanza inutile ed elementare.
Supponiamo di avere due insiemi $X$ e $Y$ tali che qualsiasi valore di $X$ (diciamo $x_n$) è strettamente maggiore di un qualsiasi valore di $Y$, (diciamo $y_m$).
Il modo giusto per formalizzare è dire
$x_n>y_m$
Io mi chiedo: sarebbe giusto, in ottica puramente formale, scrivere
$x_n>=y_m$ ?
Io direi di si, perché effettivamente data l'ipotesi il primo membro è sempre maggiore O uguale (anche se la seconda eventualità non capita mai, pazienza).
Sulla stessa scia posso dire senza incappare in errore formalmente, che se i due insiemi sono tali che
$x=y\quad\quad\quadforallx inX$ e $forallyinY$
allora $x>=y$ o anche, perché no, $x<=y$ ?
Nel senso, c'è sempre l'uguale che mi rende vera la cosa.
Quindi andando sul concreto ho
$4>=4$, $2<=2$, $e>=e$....
Scusate l'assurdità della cosa, buonanotte!
Supponiamo di avere due insiemi $X$ e $Y$ tali che qualsiasi valore di $X$ (diciamo $x_n$) è strettamente maggiore di un qualsiasi valore di $Y$, (diciamo $y_m$).
Il modo giusto per formalizzare è dire
$x_n>y_m$
Io mi chiedo: sarebbe giusto, in ottica puramente formale, scrivere
$x_n>=y_m$ ?
Io direi di si, perché effettivamente data l'ipotesi il primo membro è sempre maggiore O uguale (anche se la seconda eventualità non capita mai, pazienza).
Sulla stessa scia posso dire senza incappare in errore formalmente, che se i due insiemi sono tali che
$x=y\quad\quad\quadforallx inX$ e $forallyinY$
allora $x>=y$ o anche, perché no, $x<=y$ ?
Nel senso, c'è sempre l'uguale che mi rende vera la cosa.
Quindi andando sul concreto ho
$4>=4$, $2<=2$, $e>=e$....
Scusate l'assurdità della cosa, buonanotte!
Risposte
Beh, $x>=y$ significa $x>y vv x=y$, quindi, essendo $X$ e $Y$ quelli che tu descrivi, $\forall x, y , x>y$ e $nexists x, y : x=y$, dunque la precedente disgiunzione inclusiva assume il valore di verità $V$ sempre e comunque.
Però, se usi dire che gli elementi di $X$ sono strettamente maggiori di quelli di $Y$, allora affermi che $\forall x,y, (x>=y)^^(x!=y)$.
Questo per dire cosa? Per dire che per descrivere $X$ e $Y$ la sola scrittura $forall x,y, x>=y$ non è sufficiente, dacché manca $\forall x,y, x!=y$.
Quindi io direi di no, anche perché un insieme è identificato da tutti e soli gli elementi che gli appartengono e se tu affermi che $\forall x, y, x>=y$ allora anche la coppia $(5;5)$ verifica la precedente relazione, dunque anche la coppia $(5;5)$ ha una coordinata in $X$ e una in $Y$ (se, e.g. prendi $X,Y \subseteq Y$), mentre noi sappiamo che $5$ non può essere elemento di entrambi.
Poi, è ovvio, dipende anche da quello che ci devi fare con quella scrittura.
Però, se usi dire che gli elementi di $X$ sono strettamente maggiori di quelli di $Y$, allora affermi che $\forall x,y, (x>=y)^^(x!=y)$.
Questo per dire cosa? Per dire che per descrivere $X$ e $Y$ la sola scrittura $forall x,y, x>=y$ non è sufficiente, dacché manca $\forall x,y, x!=y$.
Quindi io direi di no, anche perché un insieme è identificato da tutti e soli gli elementi che gli appartengono e se tu affermi che $\forall x, y, x>=y$ allora anche la coppia $(5;5)$ verifica la precedente relazione, dunque anche la coppia $(5;5)$ ha una coordinata in $X$ e una in $Y$ (se, e.g. prendi $X,Y \subseteq Y$), mentre noi sappiamo che $5$ non può essere elemento di entrambi.
Poi, è ovvio, dipende anche da quello che ci devi fare con quella scrittura.
"Steven":
Mi è venuta in mente una cosa abbastanza inutile ed elementare.
Supponiamo di avere due insiemi $X$ e $Y$ tali che qualsiasi valore di $X$ (diciamo $x_n$) è strettamente maggiore di un qualsiasi valore di $Y$, (diciamo $y_m$).
Il modo giusto per formalizzare è dire
$x_n>y_m$
Io mi chiedo: sarebbe giusto, in ottica puramente formale, scrivere
$x_n>=y_m$ ?
Io direi di si, perché effettivamente data l'ipotesi il primo membro è sempre maggiore O uguale (anche se la seconda eventualità non capita mai, pazienza).
Mamma mia!
- la formalizzazione e' orribile. Perche' tiri in ballo gli indici n ed m? Senza dire da dove li prendi, per giunta!!! Bah...
- e nessun quantificatore? Aaaarghhhh
- un giusto modo di formalizzare e': $x>y$ per ogni $x \in X$ e $y \in Y$
- "effettivamente data l'ipotesi il primo membro è sempre maggiore O uguale" ok, d'accordo. Ma da matematico in erba DEVI renderti conto, a pelle, che la frase scritta ha a che fare con una implicazione, non con un se e solo se. E lasciamo perdere il formalismo. Queste cose si sentono, nel proprio intimo!
- quindi la risposta presumibile e', "ovviamente", no
- oltre che "presumibile" e' davvero no. Perhce'? Perche' si puo' fare un controesempio, che mostra come la presunta equivalenza non sussista
- il controesempio te lo lascio a te, da fare. Cosi' impari la regola aurea: sapere sempre di cosa si sta parlando, e il modo migliore e' quello di avere sempre presenti un mazzolino di esempi che traducono in "concreto" (haha) quello che ti dice la teoria "astratta"
Che bello, ho potuto cominciare bene la settimana. Non ho esami e quindi avevo bisogno di dare sfogo in qualche modo alla cattiveria.
"Steven":
Sulla stessa scia posso dire senza incappare in errore formalmente, che se i due insiemi sono tali che
$x=y\quad\quad\quadforallx inX$ e $forallyinY$
allora $x>=y$ o anche, perché no, $x<=y$ ?
Nel senso, c'è sempre l'uguale che mi rende vera la cosa.
Quindi andando sul concreto ho
$4>=4$, $2<=2$, $e>=e$....
Una sola domanda, come sono fatti due insiemi cosi'? Supponendo che siano entrambi non vuoti.
Diciamo che se hai due sottoinsiemi $X$ e $Y$ di $RR$ (ho preso $RR$ perché è simpatico e ben conosciuto) tali che
(*) $x
allora puoi dire benissimo che
(**) $x le y$ per ogni $x in X$, $y in Y$,
non c'é nulla di sbagliato in questo. Il problema è che di solito se sei a conoscenza di una proprietà di un oggetto ti fa comodo segnalarla come nota. In questo caso la proprietà (*) è piu' forte della (**), ovvero dice piu' cose, descrive meglio quello che stai dicendo.
Puoi dire benissimo che $4 ge 4$ e simili.
PS1: ma la cosa che forse potresti domandarti è "cosa stanno ad indicare i simboli $le$, $ge$?".
PS2: ad una delle prime lezioni di analisi la prof ha scritto $0 ge 0$, e si è levato un brusio indistinguibile, qualcuno ha visto crollare le proprie certezze.
(*) $x
allora puoi dire benissimo che
(**) $x le y$ per ogni $x in X$, $y in Y$,
non c'é nulla di sbagliato in questo. Il problema è che di solito se sei a conoscenza di una proprietà di un oggetto ti fa comodo segnalarla come nota. In questo caso la proprietà (*) è piu' forte della (**), ovvero dice piu' cose, descrive meglio quello che stai dicendo.
Puoi dire benissimo che $4 ge 4$ e simili.
PS1: ma la cosa che forse potresti domandarti è "cosa stanno ad indicare i simboli $le$, $ge$?".
PS2: ad una delle prime lezioni di analisi la prof ha scritto $0 ge 0$, e si è levato un brusio indistinguibile, qualcuno ha visto crollare le proprie certezze.
@Martino
cos'e'? uno zuccherino per Steven?
cos'e'? uno zuccherino per Steven?
"Fioravante Patrone":
@Martino
cos'e'? uno zuccherino per Steven?
Cosa? Non capisco.
@Martino
niente, diciamo che avevo fatto un intervento un po' spigoloso e pensavo volessi "consolare" il nostro maturando
niente, diciamo che avevo fatto un intervento un po' spigoloso e pensavo volessi "consolare" il nostro maturando
"Fioravante Patrone":
Che bello, ho potuto cominciare bene la settimana. Non ho esami e quindi avevo bisogno di dare sfogo in qualche modo alla cattiveria.
Spero che le nostre strade si incrocino solo ai raduni del forum!!!
Paola
@prime_number, aka Paola
Bello, il tuo nuovo avatar
[size=75]PS: ormai mi sono tolta la cattiveria di dosso, grazie a Steven[/size]
Bello, il tuo nuovo avatar
[size=75]PS: ormai mi sono tolta la cattiveria di dosso, grazie a Steven[/size]
Non ci casco!!!!!
Paola
Paola
"Fioravante Patrone":
@Martino
niente, diciamo che avevo fatto un intervento un po' spigoloso e pensavo volessi "consolare" il nostro maturando
Diciamo che ho interpretato le varie ambiguità di linguaggio come delle ostruzioni involontarie alla chiarezza.
Cioè, mi pareva che a Steven risultasse abbastanza chiaro che le due scritture $x_n>y_m$ e $x_n ge y_m$ non sono equivalenti, anche se a leggerlo puo' non sembrare. E poi siccome l'avevi già ripreso su questo, ho ritenuto opportuno non insistere, ancorché intervenendo perché l'argomento è stimolante.
Intanto grazie a tutti per l'interessamento.
A Fioravante un ringraziamento particolare (giusto per ingraziarmelo, non voglio essere la vittima della settimana, in assenza dei suoi poveri studenti da distruggere all'esame)
Prima di procedere a commentare tutto, mi viene il dubbio atroce che forse non ho colto il succo del discorso.
Infatti leggo che le risposte alla mia domanda (se è ammissibile o meno scrivere così) sono
Prima di scusarmi per le altre sviste che mi ha fatto notare il cattivo del forum, e prima di essere condotto al patibolo sempre da quest'ultimo, vi chiedo di schiarirmi le idee.
A Fioravante un ringraziamento particolare (giusto per ingraziarmelo, non voglio essere la vittima della settimana, in assenza dei suoi poveri studenti da distruggere all'esame)
Prima di procedere a commentare tutto, mi viene il dubbio atroce che forse non ho colto il succo del discorso.
Infatti leggo che le risposte alla mia domanda (se è ammissibile o meno scrivere così) sono
"Wizard":
Quindi io direi di no
"Fioravante Patrone":
- quindi la risposta presumibile e', "ovviamente", no
- oltre che "presumibile" e' davvero no.
"Martino":
non c'é nulla di sbagliato in questo.
Prima di scusarmi per le altre sviste che mi ha fatto notare il cattivo del forum, e prima di essere condotto al patibolo sempre da quest'ultimo, vi chiedo di schiarirmi le idee.
Questo a dimostrazione che a interpretare male sono stato io
Il mio
(^) "non c'è nulla di sbagliato in questo"
andava contestualizzato
Allora ti rispondo "veramente".
Le due scritture non sono equivalenti. Ma cio' va letto nel modo seguente:
A) se $x>y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ allora è vero che $x ge y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ (a questo era riferito il commento (^)).
B) se $x ge y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ allora non è vero che $x>y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ (farsi degli esempi - come consigliava FP).
Il problema è che:
questa tua domanda io la interpreto come "è giusto dire che se $x>y$ allora $x ge y$?" La mia risposta naturale è "si"
Chiedo scusa se ho interpretato male.
Il mio
(^) "non c'è nulla di sbagliato in questo"
andava contestualizzato
Allora ti rispondo "veramente"."Steven":
Il modo giusto per formalizzare è dire
$x_n>y_m$
Io mi chiedo: sarebbe giusto, in ottica puramente formale, scrivere
$x_n>=y_m$ ?
Io direi di si, perché effettivamente data l'ipotesi il primo membro è sempre maggiore O uguale (anche se la seconda eventualità non capita mai, pazienza)
Le due scritture non sono equivalenti. Ma cio' va letto nel modo seguente:
A) se $x>y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ allora è vero che $x ge y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ (a questo era riferito il commento (^)).
B) se $x ge y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ allora non è vero che $x>y$ per ogni $x in X$, $y in Y$ (farsi degli esempi - come consigliava FP).
Il problema è che:
"Steven":
Il modo giusto per formalizzare è dire
$x_n>y_m$
Io mi chiedo: sarebbe giusto, in ottica puramente formale, scrivere
$x_n>=y_m$ ?
questa tua domanda io la interpreto come "è giusto dire che se $x>y$ allora $x ge y$?" La mia risposta naturale è "si"
Chiedo scusa se ho interpretato male.
Ok, ora afferro.
In realtà io questo intendevo, la domanda era:
$x>y \implies x>=y$ ??
e davo per scontato, ma nemmeno mi è venuto in mente in realtà
$x>=y$ non comporta $x>y$ e con questo credo di rispondere a Fioravante
Grazie intento per l'appellativo di "matematico in erba". E' un onore
Il controesempio cui ti riferivi potrebbe essere
$0>=0$, come diceva Martino, ma ovviamente non vale $0>0$
Ti ringrazio per il chiarimento, Martino
Ora saldo i miei conti con la giustizia
Ok, "mea culpa" piena.
Si, scusa pure qua.
In realtà io non so praticamente nulla di insiemi, e solo adesso mi è tornata in mente una frase che mi scrisse Martino non troppo tempo fa, riguardo lo stesso errore
Quello che volevo dire, senza complicarmi la vita, è se
$x=y$ implica $x>=y$, ma a questo ha risposto Martino, confermandomi che $4>=4$
Per il resto, non mi piacciono questi dialoghi OT nel mio topic, nella mia sezione.
Ringraziate che non ha senso chiudere il topic che io stesso ho aperto.
Grazie a tutti, buona giornata.
In realtà io questo intendevo, la domanda era:
$x>y \implies x>=y$ ??
e davo per scontato, ma nemmeno mi è venuto in mente in realtà
$x>=y$ non comporta $x>y$ e con questo credo di rispondere a Fioravante
"Fioravante Patrone":
Ma da matematico in erba DEVI renderti conto, a pelle, che la frase scritta ha a che fare con una implicazione, non con un se e solo se. E lasciamo perdere il formalismo. Queste cose si sentono, nel proprio intimo!
Grazie intento per l'appellativo di "matematico in erba". E' un onore
Il controesempio cui ti riferivi potrebbe essere
$0>=0$, come diceva Martino, ma ovviamente non vale $0>0$
Ti ringrazio per il chiarimento, Martino
Ora saldo i miei conti con la giustizia
"Fioravante Patrone":
Mamma mia!
- la formalizzazione e' orribile. Perche' tiri in ballo gli indici n ed m? Senza dire da dove li prendi, per giunta!!! Bah...
- e nessun quantificatore? Aaaarghhhh
- un giusto modo di formalizzare e': $x>y$ per ogni $x \in X$ e $y \in Y$
Ok, "mea culpa" piena.
"Fioravante Patrone":
Una sola domanda, come sono fatti due insiemi cosi'? Supponendo che siano entrambi non vuoti.
Si, scusa pure qua.
In realtà io non so praticamente nulla di insiemi, e solo adesso mi è tornata in mente una frase che mi scrisse Martino non troppo tempo fa, riguardo lo stesso errore
"Martino":
Attento: l'insieme $\{x,x,x,x,x\}$ è uguale all'insieme $\{x\}$. In un insieme due elementi distinti sono veramente "distinti"
Quello che volevo dire, senza complicarmi la vita, è se
$x=y$ implica $x>=y$, ma a questo ha risposto Martino, confermandomi che $4>=4$
Per il resto, non mi piacciono questi dialoghi OT nel mio topic, nella mia sezione.
Ringraziate che non ha senso chiudere il topic che io stesso ho aperto.
Grazie a tutti, buona giornata.
Una sola considerazione.
Dalla tua ultima risposta, mi sembra che tu volessi alla fin fine solo osservare che $x>y$ implica $x>=y$.
Questo e' vero, anche se e' molto diffusa, molto piu' di quanto tu non immagini, la credenza opposta.
Pero', un piccolo rimbrotto. Se e' questo che volevi dire, allora perche' tirare in ballo due insiemi, $X$ ed $Y$? Come avrai visto, cio' ha contribuito a confondere ed a rendere scorretto un ragionamento che avrebbe potuto essere fatto in un attimo.
Approfitto per citare un'altra "thumb rule" importante: andare sempre al nocciolo delle cose (come disse il verme), non perdersi in divagazioni. E' un'ottima ginnastica mentale per matematici in erba.
Dalla tua ultima risposta, mi sembra che tu volessi alla fin fine solo osservare che $x>y$ implica $x>=y$.
Questo e' vero, anche se e' molto diffusa, molto piu' di quanto tu non immagini, la credenza opposta.
Pero', un piccolo rimbrotto. Se e' questo che volevi dire, allora perche' tirare in ballo due insiemi, $X$ ed $Y$? Come avrai visto, cio' ha contribuito a confondere ed a rendere scorretto un ragionamento che avrebbe potuto essere fatto in un attimo.
Approfitto per citare un'altra "thumb rule" importante: andare sempre al nocciolo delle cose (come disse il verme), non perdersi in divagazioni. E' un'ottima ginnastica mentale per matematici in erba.
Come avrai visto, cio' ha contribuito a confondere ed a rendere scorretto un ragionamento che avrebbe potuto essere fatto in un attimo.
Ho visto infatti; a maggior ragione vi ringrazio per avermi dato retta.
A volte ho l'impressione che con poche parole non fornisco abbastanza informazioni, quindi mi impelago con questi esempi.
Cercherò di essere più incisivo
Grazie ancora, alla prossima.
mamma mia.... lascio trascorrere qualche ora in più del solito prima di riaprire il forum, e trovo questa "chicca" (discussione spassosa con tanti interventi autorevoli!)...
unpo' mi sono persa... perché non ho letto con molta attenzione...
volevo dare un brevissimo contributo:
primo, le osservazioni del "postista" che ora non ricordo più chi sia sono ovviamente corrette;
secondo, in generale, come fatto notare da molti altri, è opportuno utilizzare tutte le informazioni e non limitarle, come sembrerebbe venga fatto con le implicazioni usate nello stesso post;
terzo, se immagini i simboli come "inclusioni" tra insiemi, le stesse implicazioni vengono usate nella definizione classica di insiemi uguali.
ciao...
unpo' mi sono persa... perché non ho letto con molta attenzione...
volevo dare un brevissimo contributo:
primo, le osservazioni del "postista" che ora non ricordo più chi sia sono ovviamente corrette;
secondo, in generale, come fatto notare da molti altri, è opportuno utilizzare tutte le informazioni e non limitarle, come sembrerebbe venga fatto con le implicazioni usate nello stesso post;
terzo, se immagini i simboli come "inclusioni" tra insiemi, le stesse implicazioni vengono usate nella definizione classica di insiemi uguali.
ciao...
"adaBTTLS":
primo, le osservazioni del "postista" che ora non ricordo più chi sia sono ovviamente corrette;
secondo, in generale, come fatto notare da molti altri, è opportuno utilizzare tutte le informazioni e non limitarle, come sembrerebbe venga fatto con le implicazioni usate nello stesso post;
terzo, se immagini i simboli come "inclusioni" tra insiemi, le stesse implicazioni vengono usate nella definizione classica di insiemi uguali.
ciao...
Hai più o meno riassunto il contenuto del topic
Grazie e ciao!
di nulla... grazie a te. ciao!
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