Dubbio sugli integralli
Sicuramente è un dubbio idiota, però non riesco a capire per quale ragione non funziona.
In pratica il problema sorge quando devo calcolare per integrazione aree o volumi di solidi dove qualche misura è espressa in relazione a funzioni goniometriche.
Ad esempio se volessi calcolare la superficie laterale di una calotta sferica....
Chiamo $2\alpha$ l'angolo che si forma collegando i raggi con i bordi della calotta.
So che posso vedere la superficie della calotta come tante circonferenze concentriche. Quella più grande misura
$2r\pi \sin(\alpha)$
Speravo che $2r\pi\int_{0}^{\alpha} \sin(x) \ dx$ mi desse l'area della calotta.....
e invece si capisce subito che non funziona... sia perchè trattandosi di un'area deve dipendere da qualcosa di quadratico, mentre qua $r$ rimane di primo grado, sia perchè viene una roba diversa da quella che dovrebbe venire...
Dov'è l'errore formale?
Un altro problema simile ce l'ho avuto in fisica quando avevo un'accelerazione istantanea che dipendeva solo dal coseno di un angolo. Volevo trovare la velocità dopo un certo periodo di tempo, ma integrando l'accelerazione dal coseno ottenevo un'altra funzione circolare che non poteva essere certo una velocità in quanto conservava le unità di misura dell'accelerazione....
Ho notato invece che questo problema non si pone mai se "sciolgo" le funzioni goniometriche... Ad esempio nel problema di prima se scrivo l'equazione della semicirconferenza e integro quella funzione trattando la calotta come solido di rotazione ottenuto da quella curva intorno l'asse x questo problema non si pone..
Voglio sapere solo come mai formalmente le funzioni goniometriche danno questi problemi.
In pratica il problema sorge quando devo calcolare per integrazione aree o volumi di solidi dove qualche misura è espressa in relazione a funzioni goniometriche.
Ad esempio se volessi calcolare la superficie laterale di una calotta sferica....
Chiamo $2\alpha$ l'angolo che si forma collegando i raggi con i bordi della calotta.
So che posso vedere la superficie della calotta come tante circonferenze concentriche. Quella più grande misura
$2r\pi \sin(\alpha)$
Speravo che $2r\pi\int_{0}^{\alpha} \sin(x) \ dx$ mi desse l'area della calotta.....
e invece si capisce subito che non funziona... sia perchè trattandosi di un'area deve dipendere da qualcosa di quadratico, mentre qua $r$ rimane di primo grado, sia perchè viene una roba diversa da quella che dovrebbe venire...
Dov'è l'errore formale?
Un altro problema simile ce l'ho avuto in fisica quando avevo un'accelerazione istantanea che dipendeva solo dal coseno di un angolo. Volevo trovare la velocità dopo un certo periodo di tempo, ma integrando l'accelerazione dal coseno ottenevo un'altra funzione circolare che non poteva essere certo una velocità in quanto conservava le unità di misura dell'accelerazione....
Ho notato invece che questo problema non si pone mai se "sciolgo" le funzioni goniometriche... Ad esempio nel problema di prima se scrivo l'equazione della semicirconferenza e integro quella funzione trattando la calotta come solido di rotazione ottenuto da quella curva intorno l'asse x questo problema non si pone..
Voglio sapere solo come mai formalmente le funzioni goniometriche danno questi problemi.
Risposte
Per la calotta
La formula per il calcolo delle superfici è più complessa perché devi tener conto del fatto che quelli che ottieni sono tronchi di cono, la cui superficie laterale è data da $pi(r_1+r_2)a$.
Nel tuo caso i raggi sono praticamente uguali e si ha $r_1=r_2=rsinx$; per calcolare l'apotema $a$ introduco assi cartesiani $(X,Y)$, con $Y$ coincidente con l'asse di simmetria. Si ha
$X=rsinx->dX=rcosx dx$
$Y=rcosx->dY=-rsinx dx$
$a=sqrt((dX)^2+(dY)^2)=...=rdx$
e quindi la superficie è
$S=int_0^alpha 2rsinx*rdx$
che dà il giusto risultato.
Per velocità ed accelerazione
Se l'accelerazione è data da $a=k cos omega t$, integrando ottieni che la velocità è $v=k/omega sin omega t$ e le unità di misura quadrano perfettamente. Credo che tu abbia posto $omega=1$, senza pensare che c'era anche l'unità di misura.
La formula per il calcolo delle superfici è più complessa perché devi tener conto del fatto che quelli che ottieni sono tronchi di cono, la cui superficie laterale è data da $pi(r_1+r_2)a$.
Nel tuo caso i raggi sono praticamente uguali e si ha $r_1=r_2=rsinx$; per calcolare l'apotema $a$ introduco assi cartesiani $(X,Y)$, con $Y$ coincidente con l'asse di simmetria. Si ha
$X=rsinx->dX=rcosx dx$
$Y=rcosx->dY=-rsinx dx$
$a=sqrt((dX)^2+(dY)^2)=...=rdx$
e quindi la superficie è
$S=int_0^alpha 2rsinx*rdx$
che dà il giusto risultato.
Per velocità ed accelerazione
Se l'accelerazione è data da $a=k cos omega t$, integrando ottieni che la velocità è $v=k/omega sin omega t$ e le unità di misura quadrano perfettamente. Credo che tu abbia posto $omega=1$, senza pensare che c'era anche l'unità di misura.
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