Dubbio su una questione di "infinito".
Salve a tutti, oggi in classe il professore ha spiegato la risoluzione di alcune forme indeterminate dei limiti, tra cui $+infty-infty; infty/infty$. Mentre spiegava un esercizio guida, sono incappato in un dubbio: $lim_(x->+infty)(-x^4+x^3+5)/(4x^3-x+1)$, ovviamente la risoluzione del limite è banale ma non voglio soffermarmi su questo aspetto. Un mio compagno ha affermato che sostituendo al numeratore $+infty$ (per trovare il valore del limite del numeratore) si arrivi alla forma $-infty^4+infty^3+5$ e che dal momento che per LOGICA $-infty^4+infty^3$ da $-infty$ allora il limite del numeratore vale $-infty$ al che mi sono sentito di obbiettare dicendo che $-infty^4+infty^3$ è comunque una forma indeterminata del tipo $+infty-infty$ e che quindi: $lim_(x->+infty)(-x^4+x^3+5)$ ; $lim_(x->+infty)[-x^4(1-1/x-5/x^4)]$ da cui $l=-infty$. Facendo un confronto per esempio $y=x^2$ ed $y=x$ per $x->+infty$ la prima tende a $+infty$ più velocemente rispetto alla seconda ma il "risultato" resta sempre $+infty$, io non me la sentirei di dire che per logica $-infty^4+infty^3$ equivale a $-infty$. Se io per esempio avessi $infty^(1/3)-infty$ ragionando per "logica" otterrei allora $-infty$, secondo il mio parere questi ragionamenti non valgono con il concetto di infinito;o forse vi è una dimostrazione, un principio che stabilisce questa cosa. Forse c'entra un principio degli infiniti che ho trovato sfogliando le pagine del libro.
Grazie a tutti!!
Grazie a tutti!!
Risposte
Il tuo compagno evidentemente non ha capito bene che cosa significa "forma indeterminata": una forma come $-infty^4+infty^3$ non si può banalizzare semplicemente dicendo che, poichè il primo è "più grande" del secondo, il risultato è $-infty$. Una forma indeterminata è tale poichè, appunto, non si può determinare il suo valore, perchè i termini non tendono a infinito con la stessa velocità. Il risultato di quel limite è, comunque, $-infty$: ma per arrivare a questa conclusione bisogna eliminare le forme indeterminate. In particolare, per casi come il limite che hai riportato, si utilizza il principio di eliminazione degli infiniti(a scuola lo chiamavamo così), che dovrebbe essere quello che hai trovato sfogliando il tuo libro: secondo questo principio, nel calcolo di un rapporto di somme tra infiniti, è lecito trascurare sia al numeratore che al denominatore, gli infiniti di ordine inferiore(cioè che tendono meno velocemente a infinito), mantenendo sia al numeratore che al denominatore l'infinito di ordine superiore. A questo punto è facile concludere che se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, il risultato del limite è $infty$ (occhio al segno, in base al testo del limite che devi calcolare).
"Francesco.93":
si arrivi alla forma $-infty^4+infty^3+5$ e che dal momento che per LOGICA $-infty^4+infty^3$ da $-infty$ allora il limite del numeratore vale $-infty$
Questo genere di ragionamenti non si possono fare.
Non c'è nessuna logica che ti consenta di farli, nessun teorema alle spalle. Devi ragionare sugli ordini di infinito.
Grazie della risposta! Quindi il ragionamento che ho fatto è corretto?
Comunque si, starò attento al segno
. Comunque ho osservato che se la funzione ha una forma del tipo $f(x)=+-x^n+-x$ per esempio, allora il valore del limite per $x->infty$ è $infty$ col segno del termine col maggiore esponente. Perfetto, grazie anche a te Seneca!
Comunque si, starò attento al segno
. Comunque ho osservato che se la funzione ha una forma del tipo $f(x)=+-x^n+-x$ per esempio, allora il valore del limite per $x->infty$ è $infty$ col segno del termine col maggiore esponente. Perfetto, grazie anche a te Seneca!
Il tuo ragionamento va bene, anche quando hai proposto di risolvere il limite raccogliendo $-x^4$, quello è un altro modo valido per eliminare la forma indeterminata. Per quanto riguarda i segni, il problema si può generalizzare come hai detto tu. E attenzione a non farti contagiare da chi ha le idee più confuse! 
"Francesco.93":
Grazie della risposta! Quindi il ragionamento che ho fatto è corretto?
Comunque si, starò attento al segno
Certo... In generale se hai un polinomio di grado $n$ puoi raccogliere $a_n x^n$ e ottenere:
$lim_(x -> +oo) a_n x^n [ 1 + a_(n-1)/(a_n x) + ... + a_0/(a_n x^n) ] = +-oo$ a seconda del segno di $a_n$.
Inoltre ti consiglio di adoperare $x -> +oo$ , $x -> -oo$. Non so che cosa intenda tu con la scrittura $oo$...
Una precisazione: il metodo di eliminazione degli infiniti di ordine superiore utilizzalo quando hai dei rapporti(anche l'altro va bene), ma nel caso di polinomi come hai detto tu prima (cioè $f(x)=+-x^n+-x^(n-1)$) va bene solo il metodo di raccogliere la x di grado maggiore, l'altro no.
Come dice Seneca.
Come dice Seneca.
@Seneca:Tuttavia, questa specie di dimostrazione non mi autorizza ad affermare che $-infty^2+infty$(ad esempio) mi dia $-infty$ come risultato. Anche perché da quello che ho capito l'infinito è un concetto matematico, non è un numero. Si scusa, intendevo $+-infty$.
@Valentina92: Grazie mille.
Ultima domanda: Nel caso in cui io voglia trovare ad esempio $lim_(x->0)(1/x)$ il valore risulterebbe essere $+-infty$. Ma nelle funzioni più complesse come capisco se $l=+-infty$ dal momento che la teoria dice che $n/0=+infty$ ed $-n/0=-infty$???
@Valentina92: Grazie mille
.Ultima domanda: Nel caso in cui io voglia trovare ad esempio $lim_(x->0)(1/x)$ il valore risulterebbe essere $+-infty$. Ma nelle funzioni più complesse come capisco se $l=+-infty$ dal momento che la teoria dice che $n/0=+infty$ ed $-n/0=-infty$???
@Valentina92: perfetto, quindi solo quando mi trovo in una frazione!
"Francesco.93":
$lim_(x->0)(1/x)$ il valore risulterebbe essere $+-infty$.
Questo limite non esiste. Infatti per $x -> 0^+$ risulta $+oo$ mentre per $x -> 0^-$ risulta $-oo$. Se il limite esistesse, questi due dovrebbero coincidere.
"Francesco.93":
Ma nelle funzioni più complesse come capisco se $l=+-infty$ dal momento che la teoria dice che $n/0=+infty$ ed $-n/0=-infty$???
Non ho capito cosa intendi qui...
Dipende dall'intorno di 0 che prendi. Se è quello sinistro, è $1/0^+ = +infty$. Se prendi quello destro, è $1/(0^-) = -infty$.
Mi è stato detto così :S. Comunque ora che ci penso la definizione di limite afferma la coincidenza di limite destro e sinistro. Questo spiega anche la seconda cosa che non avevo capito. Il libro anche sbaglia allora in un certo senso quando dice che $l/0=infty$. Quindi una funzione non avrà mai come limite "tutto l'infinito"???
"Francesco.93":
Mi è stato detto così :S. Comunque ora che ci penso la definizione di limite afferma la coincidenza di limite destro e sinistro. Questo spiega anche la seconda cosa che non avevo capito. Il libro anche sbaglia allora in un certo senso quando dice che $l/0=infty$. Quindi una funzione non avrà mai come limite "tutto l'infinito"???
La questione credo sia di carattere topologico. Comunque: leggi qui.
Non ho capito molto bene.
A me per esempio a scuola avevano insegnato che in casi come quello, cioè in cui prendendo l'intorno destro del punto il limite tende a $-infty$ e prendendo quello sinistro il limite tende a $+infty$ , allora prendendo l'intorno completo del punto il limite tende ad infinito completo. Credo che a scuola trascurino il problema che voleva farti notare Seneca, per semplificare, anche se invece è importante per capire i limiti. Però forse conviene che chiedi alla tua professoressa come vuole che tu affronti la questione.
Si, ho capito cosa intendete. Difatti mio fratello che va all'università mi ha spiegato che il suo professore ha detto che alle superiori di solito, si dice che faccia infinito quando in verità non esiste per il fatto che Seneca mi ha appunto spiegato!
"Seneca":
[quote="Francesco.93"] $lim_(x->0)(1/x)$ il valore risulterebbe essere $+-infty$.
Questo limite non esiste. Infatti per $x -> 0^+$ risulta $+oo$ mentre per $x -> 0^-$ risulta $-oo$. Se il limite esistesse, questi due dovrebbero coincidere.
[/quote]
Provo a spiegare come l'ho capita io: hai una frazione $1/x$, cosa succede se $x$ diventa molto piccolo? il rapporto diventa molto grande, ma $x$ può essere un numero molto piccolo, sempre più piccolo, quasi 0, e negativo $0^-$ dunque il rapporto avrà il segno - ($-oo$); oppure $x$ può essere un numero molto piccolo, sempre più piccolo, quasi 0, e positivo $0^+$ dunque il rapporto avrà il segno + ($+oo$). Se arrivo dai numeri negativi vado sempre più giù, se arrivo dai numeri positivi vado sempre più su, non c'è modo di metterci una pezza, non posso sostituire nessun valore alla funzione in corrispondenza di 0 per aggiustare le cose, non riesco a riattaccare i due rami. E' una stupidaggine?
"gio73":
non c'è modo di metterci una pezza, non posso sostituire nessun valore alla funzione in corrispondenza di 0 per aggiustare le cose, non riesco a riattaccare i due rami. E' una stupidaggine?
Diciamo che non c'entra. Neanche per $1/x^2$ puoi assegnare un valore in $0$ in modo da attaccare i due rami, eppure il limite in $0$ in questo caso esiste ed è $+oo$.
Già anche a cercarlo il punto è sempre più in alto, se mi permetti questo strano modo di esprimersi. Altra domanda stupida, stupida... la funzione non è continua, giusto?
Non è continua.
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