Dubbio su un radicale
Scusate la banalità...il miol ibro propone questo esempio nella spiegazione della semplificazione dei radicali:
radice quadra di: $x^2+2x+y^2$=radice quadra di:$(x+y)^2$=modulo di x+y
non mi quadra il discorso del modulo dal momento che sotto radice (x+y) è elevato al quadrato e quindi anche il quadrato di un numero negativo è positivo...io avrei semplicemente scritto che la soluzione è x+y senza il modulo...
grazie.
radice quadra di: $x^2+2x+y^2$=radice quadra di:$(x+y)^2$=modulo di x+y
non mi quadra il discorso del modulo dal momento che sotto radice (x+y) è elevato al quadrato e quindi anche il quadrato di un numero negativo è positivo...io avrei semplicemente scritto che la soluzione è x+y senza il modulo...
grazie.
Risposte
Stai evidentemente lavorando in$ R $, non in $ R^+ $. Osserva:
$ sqrt((x+y)^2) = |x+y| $. Per forza. La radice quadrata di un quadrato è sempre positiva giusto? Quindi lo dev'essere anche la sua semplificazione. E chi ti dice che $x+y$ è positivo? Il suo quadrato $(x+y)^2$ è sempre positivo, ma non $x+y$. Quindi, per escludere i valori negativi, prendi il valore assoluto, quindi $|x+y|$
Se ad esempio hai
$sqrt((-3)^2)$, è sempre definito. Se lo vuoi semplificare non puoi dire che $sqrt((-3)^2)=-3$, perchè -3 è negativo. Dovresti prendere quindi $|-3|=3$. Spero di essere stato chiaro!
Ciao =D
$ sqrt((x+y)^2) = |x+y| $. Per forza. La radice quadrata di un quadrato è sempre positiva giusto? Quindi lo dev'essere anche la sua semplificazione. E chi ti dice che $x+y$ è positivo? Il suo quadrato $(x+y)^2$ è sempre positivo, ma non $x+y$. Quindi, per escludere i valori negativi, prendi il valore assoluto, quindi $|x+y|$
Se ad esempio hai
$sqrt((-3)^2)$, è sempre definito. Se lo vuoi semplificare non puoi dire che $sqrt((-3)^2)=-3$, perchè -3 è negativo. Dovresti prendere quindi $|-3|=3$. Spero di essere stato chiaro!
Ciao =D
scusa, ma non ci sono proprio completamente ancora...perchè nel tuo esempio la radice quadra di 9 è +3,-3...
e se dovessi sostituire dei numeri ai valori x ed y il discorso del modulo è ancora meno chiaro...
se x=2 ed y=-7 ho che la radice quadra di 25 è +5,-5
niente modulo nemmeno qui
proprio non capisco ancora...
e se dovessi sostituire dei numeri ai valori x ed y il discorso del modulo è ancora meno chiaro...
se x=2 ed y=-7 ho che la radice quadra di 25 è +5,-5
niente modulo nemmeno qui
proprio non capisco ancora...
$sqrt(25)=5$ e basta, non è uguale a $\pm5$.
il punto è che la radice quadrata è proprio così definita, sempre positiva o nulla.
il punto è che la radice quadrata è proprio così definita, sempre positiva o nulla.
Secondo è il passaggio più difficile da capire nello studio dei radicali: mettere o non mettere il modulo?
Se tu avessi, ad esempio:
$ sqrt((y)^3) $, tu qui sei costretta a imporre delle condizione di esistenza, perchè come ti ha suggerito il mitico blackbishop13, la radice quadrata (o comunque con indice uguale a 2n, quindi pari) dev'essere positiva o uguale a 0. Quindi dovrai scrivere $ C.E.: y>=0 $. A questo procederesti così: $sqrt(y^2*y) = ysqrt(y)$. Qui non c'è bisogno di mettere il modulo perché hai già imposto le condizioni di esistenza. Se avessi invece $ sqrt(y^2) $, qui non c'è bisogno di C.E., perché, come tu ben saprai, la $y^2$ è sempre positivo. Se invece vai a semplificare il radicale di partenza, devi fare $sqrt(y^2) = |y|$, perchè y da solo può essere anche negativo. Attenta però c'è un uguale: come fa y, che può essere negativo, ad essere uguale a una radice quadrata, che è SEMPRE positiva o nulla? Bisogna mettere per forza il modulo per prendere solo i valori positivi o nulli di y.
Capito? =)
Se tu avessi, ad esempio:
$ sqrt((y)^3) $, tu qui sei costretta a imporre delle condizione di esistenza, perchè come ti ha suggerito il mitico blackbishop13, la radice quadrata (o comunque con indice uguale a 2n, quindi pari) dev'essere positiva o uguale a 0. Quindi dovrai scrivere $ C.E.: y>=0 $. A questo procederesti così: $sqrt(y^2*y) = ysqrt(y)$. Qui non c'è bisogno di mettere il modulo perché hai già imposto le condizioni di esistenza. Se avessi invece $ sqrt(y^2) $, qui non c'è bisogno di C.E., perché, come tu ben saprai, la $y^2$ è sempre positivo. Se invece vai a semplificare il radicale di partenza, devi fare $sqrt(y^2) = |y|$, perchè y da solo può essere anche negativo. Attenta però c'è un uguale: come fa y, che può essere negativo, ad essere uguale a una radice quadrata, che è SEMPRE positiva o nulla? Bisogna mettere per forza il modulo per prendere solo i valori positivi o nulli di y.
Capito? =)
E' un passaggio delicato questo, ma importantissimo da capire.
forse sono giunta alla conclusione dei miei dubbi...
nelle definizioni, quel libro, faceva riferimento a radici quadrate algebriche e radici quadrate aritmetiche...
nell'esempio della radice quadrata algebrica scriveva così: radice quadrata di 144=+12, -12
nell'esempio della radice quadrata aritmetica scriveva così: radice quadrata di 144=12
da qui la mia confusione coi moduli...c'era una nota del libro che specificava (all'inizio degli esercizi) che tutti gli esercizi, salvo diversa precisazione, sarebbero stati da considerarsi radici aritmetiche...
risolti i dubbi vado a ripassarmi i moduli...poi ne riparliamo
grazie gufo 94 devi avere pazienza, ma sono vekkia...ho 33 anni compiuti e non prendo i libri in mano da 12 anni ho i riflessi un po' arrugginiti 
nelle definizioni, quel libro, faceva riferimento a radici quadrate algebriche e radici quadrate aritmetiche...
nell'esempio della radice quadrata algebrica scriveva così: radice quadrata di 144=+12, -12
nell'esempio della radice quadrata aritmetica scriveva così: radice quadrata di 144=12
da qui la mia confusione coi moduli...c'era una nota del libro che specificava (all'inizio degli esercizi) che tutti gli esercizi, salvo diversa precisazione, sarebbero stati da considerarsi radici aritmetiche...
risolti i dubbi vado a ripassarmi i moduli...poi ne riparliamo
grazie gufo 94
devi avere pazienza, ma sono vekkia...ho 33 anni compiuti e non prendo i libri in mano da 12 anni ho i riflessi un po' arrugginiti
Non ti preoccupare, noi siamo sempre qui! =)
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