Dubbio su un passaggio esercizio con integrali

[caffeinaplus]

Salve a tutti

La traccia del mio esercizio è la seguente

Dopo aver disegnato la curva C di equazione $y=-(x)/(x+1)$ detta $t$ la retta a essa tangente nell'origine O degli assi, calcolare:

a)L'area $A(a)$ della regione piana limitata da C, da t, dall'asintoto orizzontale di C e della retta $x=a (a>1)$
b)il $lim_(a \rightarrow +oo ) A(a)$.Determinare a in modo che risulti $A(a) =1/2$

Io ho fatto il grafico, studiato la funzione e ottenuto tutto il possibile dalla funzione.Ora, il punto dove mi blocco è che probabilmente interpreto male la regione di piano di cui mi interessa l'area, ma non capisco come dovrei calcolare l'area inclusa tra "tre fette" di piano, l'unica soluzione che avevo pensato era quella di calcolare l'area tra i due asintoti e sottrarre quella della curva, però mi pare troppo macchinoso ..

I miei calcoli sono questi
$f(x) = -x/(x+1)$
$f'(x) = -1/(x+1)^2$
$f''(x) = 2/(x+1)^3$

Gli asintoti sono
orizzontale $y=-1$
obliquo $y=-x$

A questo punto ho provato a calcolare questo integrale indefinito per potermi calcolare l'area compresa tra 0 e 1
(le funzioni sono la curva e l'asintoto obliquo)
$int -x/(x+1) +xdx$ trovandomi mi trovo un risultato inaspettato

$int (-x +x^2 +x)/(x+1)$ = $int x^2/(x+1)$ integro per parti fino a trovarmi

$x^2/(x+1)dx = x^2ln(x+1) - 2int(xln(x+1))$

e alla fine mi ritrovo che

$intx^2/(x+1)dx =0$ che non ha molto senso, gradirei una mano a capire come fare almeno questo punto e vedere se riesco a fare il resto da solo, grazie mille in anticipo

[mgrau]

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Forse non ho capito bene, ma l'area che devi trovare non è quella in giallo più chiaro?

E non basta trovare l'area della curva fra 0 e a, e poi sottrarre il triangolo in giallo più scuro?

[orsoulx]

Scusami, ma quando vedo certe brutture, mi altero (leggermente)
Tralasciando l'osservazione che quella è una funzione omografica, potevi disegnarla senza fare derivate e l'unico calcolo necessario era $ -1/1=-1 $. Come fai a sostenere che esiste un asintoto obliquo, disponendo del grafico prodotto da qualche software??
Correggendo quell'errore tutto diventa semplice come ti ha mostrato mgrau.
Ciao

[caffeinaplus]

Grazie a entrambi

@mgrau: in effetti mi sono espresso uno schifo

Edit: Forse ho capito come fare

Riedit: però così facendo riottengo quell'integrale che ho fatto per parti (1 messaggio) che non mi torna molto utile

@orsolux: non so cosa sia una funzione omografica, pardon.Effettivamente che sia un asintoto $y=-x$ è una scemenza a pensarci bene, il grafico "via software" l'ho messo per comodità a tutti, magari qualcuno vuole pure aiutarmi ma si scoccia di farlo

[caffeinaplus]

Edit: ho capito il mio secondo errore, sbagliavo le funzioni da integrare grazie mille

[@melia]

Con il pomposo termine di funzione omografica si indica l'iperbole equilatera traslata, grafico da terza superiore se non da biennio.