Dubbio su un integrale

[mancusiello]

Sono ancora io, ho un dubbio:
$int (x+1)/(25x^2+1) dx$ ; io penso che sia un integrale immediato, del tipo $int (f'(x))/f(x) dx= log|f(x)|,
per cui moltiplico e divido per $50$ e mi ritrovo $1/50 int (50(x+1))/(25x^2+1) dx= 1/50 log(1+25x^2)+c$
e credevo fosse finito, ma il libro mi mette: $1/50 log(1+25x^2)+1/5 arctg(5x) + c$....
Come mai? Grazie in anticipo ciao ciao

[Sk_Anonymous]

Chiariamo subito, la derivata di $25x^2+1$ è $50x$ e 1 non c'entra, quindi devi spezzare il tuo integrale in $int (x)/(25x^2+1) dx+int 1/(25x^2+1) dx$
$int (x)/(25x^2+1) dx$ è un integrale immediato, del tipo $int (f'(x))/f(x) dx= log|f(x)|$,per cui viene $1/50 int (50x)/(25x^2+1) dx= 1/50 log(1+25x^2)+c$
Rimane ancora un pezzo da integrare $int 1/(25x^2+1) dx$ che è anche lui un integrale immediato ma stavolta della forma
$int (f'(x))/(1+(f(x))^2) dx= arctg f(x) +c$

[mancusiello]

Vero!
Grazie mille!