Dubbio su trasformazioni geometriche di parabole
Salve a tutti, il mio libro sostiene che la parabola $y=1/9 x^2$ possa essere trasformata in $y=4x^2$ da un'omotetia di centro O e $k=36$. Ma $y=4x^2$ non dovrebbe, invece, essere la dilatazione di $y= 1/9x^2$ di coefficienti 36 sull'asse y e di 1 sull'asse x?
Risposte
Vediamo cosa significa omotetia di centro l origine e k=36
Ogni punto della parabola $y=1/9x^2$ viene trasformato moltiplicando sia l ascissa che la corrispondente ordinata per 36
Proviamo con qualche punto
0;0 diventa 0;0
1; 1/9 diventa 36;4
3;1 diventa 108;36
Questi punti appartengo o alla parabola $y=4x^2$?
Solo l origine, gli altri direi di no
Ogni punto della parabola $y=1/9x^2$ viene trasformato moltiplicando sia l ascissa che la corrispondente ordinata per 36
Proviamo con qualche punto
0;0 diventa 0;0
1; 1/9 diventa 36;4
3;1 diventa 108;36
Questi punti appartengo o alla parabola $y=4x^2$?
Solo l origine, gli altri direi di no
"gio73":
Vediamo cosa significa omotetia di centro l origine e k=36
Ogni punto della parabola $y=1/9x^2$ viene trasformato moltiplicando sia l ascissa che la corrispondente ordinata per 36
Proviamo con qualche punto
0;0 diventa 0;0
1; 1/9 diventa 36;4
3;1 diventa 108;36
Questi punti appartengo o alla parabola $y=4x^2$?
Solo l origine, gli altri direi di no
Lo stesso ragionamento che ho fatto io, allora direi che la trasformazione corretta sia la dilatazione che ho scritto
Da quale libro hai preso quell esempio?
"gio73":
Da quale libro hai preso quell esempio?
Matematica in movimento di Guidone, terzo volume (beta)
Le equazioni della omotetia sono:
\[
\left\{\begin{split}
X &= k x\\
Y &= k y
\end{split}\right.
\]
da cui si ricava:
\[
\left\{\begin{split}
x &= \frac{1}{k}\ X\\
y &= \frac{1}{k}\ Y
\end{split}\right.
\]
dunque sostituendo si trova:
\[
y = a x^2\quad \leadsto \quad \frac{1}{k} Y = \frac{a}{k^2}\ X^2 \quad \Rightarrow\quad Y = \frac{a}{k}\ X^2
\]
ossia, tornando alle variabili originarie:
\[
y = \frac{a}{k}\ x^2\; .
\]
Ora, se $a=1/9$ e $a/k = 4$ si deve avere:
\[
\frac{1}{9k} = 4\quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{36}
\]
il che mi fa pensare solo ad un'errore di battitura, ovvero ad una convenzione diversa dalla mia sulla scrittura delle equazioni della trasformazione.
\[
\left\{\begin{split}
X &= k x\\
Y &= k y
\end{split}\right.
\]
da cui si ricava:
\[
\left\{\begin{split}
x &= \frac{1}{k}\ X\\
y &= \frac{1}{k}\ Y
\end{split}\right.
\]
dunque sostituendo si trova:
\[
y = a x^2\quad \leadsto \quad \frac{1}{k} Y = \frac{a}{k^2}\ X^2 \quad \Rightarrow\quad Y = \frac{a}{k}\ X^2
\]
ossia, tornando alle variabili originarie:
\[
y = \frac{a}{k}\ x^2\; .
\]
Ora, se $a=1/9$ e $a/k = 4$ si deve avere:
\[
\frac{1}{9k} = 4\quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{36}
\]
il che mi fa pensare solo ad un'errore di battitura, ovvero ad una convenzione diversa dalla mia sulla scrittura delle equazioni della trasformazione.
Grazie mille per la risposta Gugo, letto solo ora. Sì anch'io penso sia solo un'errore di battitura dell'autrice.
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