Dubbio su scomposizioni per un limite

[mathos2000]

$(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Finchè vi sono differenze di questo tipo applico ciò che ho imparato.

Ma se ho davanti $(a^7-b^7)$ come lo scompongo? Ovvero come scompongo una differenza di numeri elevati alla settima?.

Mi servirebbe anche conoscere come scomporre un somma o differenza di termini a una qualunque potenza n.

Chiedo ciò non solo perchè vorrei risolvere questi dubbi, ma anche perchè non riesco a risolvere il seguente limite:

$lim_(x→0) x*[7sqrt(1+senx)-1]/[cosx-1]$ N.B. 7 E' INDICE DELLA RADICE

[feddy]

Per questo limite puoi tranquillamente usare de L'hopital... sapere come scomporre uno sviluppo di quel tipo non vedo come possa aiutarti molto col limite.

[Casio98]

Potresti, moltiplicando e dividendo per $sin(x)$, usare il limite notevole $lim_(x->0)((1+x)^k-1)/x=k$ ma in questi casi, se non ti viene in mente, meglio l'Hopital.
Per la cosa di $(a^n-b^n)$, la fattorizzazione è sempre uguale. Nel secondo fattore, come nel caso della differenza di cubi, i coefficienti dei monomi di grado $n-1$ sono sempre $+1$. Nel tuo caso, $(a^4-b^4)=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$. Nel limite non ti serve affatto, ma comunque potrebbe esserti utile per il futuro. Spero di esserti stato d'aiuto.