Dubbio su rapporto incrementale e derivata
Ciao a tutti è la prima volta che scrivo in questo sito 
.
Volevo chiedervi un aiuto riguardo un mio dubbio,in pratica quando si mette il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale,il secondo punto quello creato dall'incremento h quindi (x0+h,f(x0+h)),quando tende a 0 si sovrappone totalmente al primo punto oppure sta cosi vicinissimo al primo punto che si dice lo stesso tangente anche se in realtà ci sono ancora due punti e quindi c'è una piccolissima secante?Grazie
.Volevo chiedervi un aiuto riguardo un mio dubbio,in pratica quando si mette il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale,il secondo punto quello creato dall'incremento h quindi (x0+h,f(x0+h)),quando tende a 0 si sovrappone totalmente al primo punto oppure sta cosi vicinissimo al primo punto che si dice lo stesso tangente anche se in realtà ci sono ancora due punti e quindi c'è una piccolissima secante?Grazie
Risposte
Ciao, benvenuta nella nostra comunità.
Ovviamente se il limite esiste i due punti si sovrappongono. Infatti se pensi a come trovavi le tangenti ad una conica prima di conoscere le derivate non facevi altro che imporre la coincedenza delle due soluzioni, cioè il fatto che il punto di intersezione fosse uno solo, ma con moteplicità 2, come se fossero due punti coincidenti.
Ovviamente se il limite esiste i due punti si sovrappongono. Infatti se pensi a come trovavi le tangenti ad una conica prima di conoscere le derivate non facevi altro che imporre la coincedenza delle due soluzioni, cioè il fatto che il punto di intersezione fosse uno solo, ma con moteplicità 2, come se fossero due punti coincidenti.
Scusa per non essermi presentato comunque sono maschio ahah.Ritornando a noi sinceramente non so nemmeno lontanamente cosa sia una tangente ad una conica..Ma quando si mette il limite con la x che tende ad un numero,sbaglio o questo numero non verrà mai raggiunto dalla x?O questa cosa vale solo quando la x tende ad un punto di discontinuità?Perchè pensavo che quindi la h(l'incremento)quando tende a 0 non lo raggiungesse mai,quindi in pratica c'era sempre un piccolissimo incremento,invece lo raggiunge totalmente lo 0?Grazie.
Ti consiglio un bel libro di Matematica, onde evitare che melia si ritrovi a fare lezione anche quì sul forum 
In caso possa servirti, ti metto questo topic, dove ho 'delucidato'(o almeno ci ho provato) un utente con le stesse perplessità sulla derivata.
questo
In caso possa servirti, ti metto questo topic, dove ho 'delucidato'(o almeno ci ho provato) un utente con le stesse perplessità sulla derivata.
questo
Secondo me si stanno sovrapponendo due questioni.
La prima riguarda il concetto di limite in sé e segnatamente riguarda il significato di quel \( x \to x_{0} \) che si trova sotto il simbolo \( \lim \) di limite.
La seconda riguarda il concetto di tangente e segnatamente riguarda il fatto si pretende di far passare quella che è la definizione rigorosa di tangente per una interpretazione/proprietà della nozione di tangente derivante dalla geometria sintetica e da quella analitica (nella fattispecie riferita alle coniche), laddove in questi ambiti è possibile definire rigorosamente il concetto di tangente solo per determinate curve.
La prima riguarda il concetto di limite in sé e segnatamente riguarda il significato di quel \( x \to x_{0} \) che si trova sotto il simbolo \( \lim \) di limite.
La seconda riguarda il concetto di tangente e segnatamente riguarda il fatto si pretende di far passare quella che è la definizione rigorosa di tangente per una interpretazione/proprietà della nozione di tangente derivante dalla geometria sintetica e da quella analitica (nella fattispecie riferita alle coniche), laddove in questi ambiti è possibile definire rigorosamente il concetto di tangente solo per determinate curve.
Ragazzi scusate non sono stato molto chiaro,il fatto è che di matematica ne ho fatta veramente poca e sto cercando di recuperare tutto in meno di due giorni.
Il dubbio principale ce l'ho sulla traduzione in matematica,perchè ho perfettamente capito a cosa serve il rapporto incrementale da un punto di vista sul piano cartesiano,e del diminuire di h che fa avvicinare i due punti e quindi si passa dal coeff di una secante al coeff di una tangente.
Ma ho questo dubbio in scrittura matematica:
Con il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale mi
trovo il coefficiente angolare della retta tangente.
Con la sostituzione di h con 0 senza limite non mi trovo niente.
Quindi qual è la differenza di fare un limite per h che tende a
0 e sostituire direttamente nel rapporto incrementale senza limite h con 0?
Il limite non sostituisce 0 ad h?
Scusate per il disturbo.
Il dubbio principale ce l'ho sulla traduzione in matematica,perchè ho perfettamente capito a cosa serve il rapporto incrementale da un punto di vista sul piano cartesiano,e del diminuire di h che fa avvicinare i due punti e quindi si passa dal coeff di una secante al coeff di una tangente.
Ma ho questo dubbio in scrittura matematica:
Con il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale mi
trovo il coefficiente angolare della retta tangente.
Con la sostituzione di h con 0 senza limite non mi trovo niente.
Quindi qual è la differenza di fare un limite per h che tende a
0 e sostituire direttamente nel rapporto incrementale senza limite h con 0?
Il limite non sostituisce 0 ad h?
Scusate per il disturbo.
Le stesse parole dovrebbero farti riflettere..
Una cosa è 'tendere' un'altra cosa è 'essere'. Con il limite effettui valutazioni vicino a un determinato punto. Di fatto con il limite non ti stai chiedendo cosa succeda effettivamente in un determinato punto della funzione, ma ti chiedi cosa succeda vicino a quel punto. Ma queste cose vanno studiate per bene e non ti si può infondere la matematica come se nulla fosse. Stiamo parlando di limiti e derivate, la base dell'analisi matematica.
Naturalmente andrebbero accennati, quantomeno in maniera liceale, le nozioni di: intorno, punto di accumulazione, topologia della retta reale... quantomeno per farsi un'idea e capire di cosa si sta parlando.
Sopratutto imparare che il primo $varepsilon$ non si scorda mai.
Una cosa è 'tendere' un'altra cosa è 'essere'. Con il limite effettui valutazioni vicino a un determinato punto. Di fatto con il limite non ti stai chiedendo cosa succeda effettivamente in un determinato punto della funzione, ma ti chiedi cosa succeda vicino a quel punto. Ma queste cose vanno studiate per bene e non ti si può infondere la matematica come se nulla fosse. Stiamo parlando di limiti e derivate, la base dell'analisi matematica.
Naturalmente andrebbero accennati, quantomeno in maniera liceale, le nozioni di: intorno, punto di accumulazione, topologia della retta reale... quantomeno per farsi un'idea e capire di cosa si sta parlando.
Sopratutto imparare che il primo $varepsilon$ non si scorda mai.
"anto_zoolander":
Di fatto il limite è un valore che la funzione non assume, ma che 'tende ad assumere.
Detta così però... è sbagliata.
Ora che la rileggo in effetti è una contraddizione bella e buona, anzi, non ha proprio senso. Ho affermato subito dopo la virgola ciò che ho negato due secondi prima modifico.
Senza contare il fatto che i lettori possano pensare che la funzione non assuma completamente quel valore, quindi merito un'ammonizione.
modifico.Senza contare il fatto che i lettori possano pensare che la funzione non assuma completamente quel valore, quindi merito un'ammonizione.
Forse ora gia è piu chiaro..mi conviene però studiare meglio i limiti dato che ci ho dato solo un occhiata così magari mi viene piu facile capire questo tipo di scrittura.Grazie mille a tutti per gli aiuti!
Ti consiglio, personalmente, i manuali 'matematica blu 2.0' con i quali ho trovato risposta a quasi tutto. L'unica cosa forse, è che non ci sono le dimostrazioni di tre teoremi(Weierstrass, esistenza degli zeri, valori intermedi), le quali sono utili più a una forma mentis matematica che altro IMHO.
Un commento (molto informale) da un altro punto di vista ...
Per semplicità (e per non complicarmi la vita ) prendiamo una parabola.
Dati due punti su di essa (uno fisso $P(x_0, f(x_0))$ e l'altro variabile $Q(x_0+h, f(x_0+h))$ possiamo tracciare una retta passante tra essi, la quale, guarda caso, ha il coefficiente angolare uguale al rapporto incrementale ovvero $m=(f(x_0+h)-f(x_0))/(x_0+h-x_0)$.
Quando il punto $Q$ "si avvicina" a $P$, diminuisce $h$ (o viceversa, vedi tu ... ) ma finché rimangono distinti possiamo continuare a tracciare una e una sola retta e a calcolare $m$ usando il rapporto incrementale.
Nel momento in cui vengono a coincidere però avremo un solo punto e quindi infinite rette ma, per fortuna, esiste una sola retta che tocca la parabola in un punto solo e che si trova tutta "dalla stessa parte" della parabola; a sto punto verrebbe naturale calcolare il coefficiente angolare di questa retta come fatto per le altre, cioè usando il rapporto incrementale, peccato che in tal caso il denominatore ($h$) sia nullo.
Qualcuno però ha "scoperto" (o "inventato" o "trovato" o "dimostrato" o ...) che "l'oggetto matematico" chiamato "limite" ci è molto utile in questo caso, e più precisamente, che il limite del rapporto incrementale "per $h$ che tende a zero" è pari proprio al coefficiente angolare di questa retta che tocca la parabola nell'unico punto $x_0$ (e per questo detta tangente).
In conclusione, dati due punti della parabola, anche coincidenti, puoi sempre "determinare" quale sia la retta passante per essi usando, a seconda del caso, il rapporto incrementale oppure il suo limite.
Tanto per dare un contributo ...
Cordialmente, Alex
Per semplicità (e per non complicarmi la vita
) prendiamo una parabola.Dati due punti su di essa (uno fisso $P(x_0, f(x_0))$ e l'altro variabile $Q(x_0+h, f(x_0+h))$ possiamo tracciare una retta passante tra essi, la quale, guarda caso, ha il coefficiente angolare uguale al rapporto incrementale ovvero $m=(f(x_0+h)-f(x_0))/(x_0+h-x_0)$.
Quando il punto $Q$ "si avvicina" a $P$, diminuisce $h$ (o viceversa, vedi tu ...
) ma finché rimangono distinti possiamo continuare a tracciare una e una sola retta e a calcolare $m$ usando il rapporto incrementale.Nel momento in cui vengono a coincidere però avremo un solo punto e quindi infinite rette ma, per fortuna, esiste una sola retta che tocca la parabola in un punto solo e che si trova tutta "dalla stessa parte" della parabola; a sto punto verrebbe naturale calcolare il coefficiente angolare di questa retta come fatto per le altre, cioè usando il rapporto incrementale, peccato che in tal caso il denominatore ($h$) sia nullo.
Qualcuno però ha "scoperto" (o "inventato" o "trovato" o "dimostrato" o ...) che "l'oggetto matematico" chiamato "limite" ci è molto utile in questo caso, e più precisamente, che il limite del rapporto incrementale "per $h$ che tende a zero" è pari proprio al coefficiente angolare di questa retta che tocca la parabola nell'unico punto $x_0$ (e per questo detta tangente).
In conclusione, dati due punti della parabola, anche coincidenti, puoi sempre "determinare" quale sia la retta passante per essi usando, a seconda del caso, il rapporto incrementale oppure il suo limite.
Tanto per dare un contributo ...
Cordialmente, Alex
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