Dubbio su radicali in equazioni irrazionali

[michele_7483]

Gentili utenti del forum, il mio quesito è il seguente: perché nelle equazioni e disequazioni irrazionali i radicali del tipo:

$ rootn(A(x)) $ con n pari

devono essere considerati con valore non negativo?

[mazzarri1]

ciao Michele

Vuoi dire che deve essere $A(x)$ positivo? Perchè in $RR$ non esiste la radice di un numero negativo...

Oppure vuoi chiedere perchè deve essere $root(n) (A(x))$ positiva? Guardati il grafico di una radice quadrata per esempio... è sempre positiva... se così non fosse, se la immaginassi con un ramo nelle y negative (ribaltando la funzione $x^2$) non sarebbe più una funzione... è questo che stai chiedendo?

Non fare confusione, come qualcuno fa, su questo fatto:

$x^2=4$ implica che $x=+-2$

cioè la funzione $x^2$ non è iniettiva, esistono due valori della $x$ a cui corrisponde lo stesso valore della $y$

MA

$sqrt4=2$

valore positivo e basta... invertendo la funzione $x^2$ e ottenendo $sqrtx$ per forza di cose si deve considerare il solo ramo positivo. Perchè in caso contrario non sarebbe più una funzione

C'era stato un altro utente che aveva chiesto "si ma perchè non si può considerare solo negativa?" Ecco... si.. dovresti solo riscrivere tutta la matematica... è una convenzione

ciao!

[michele_7483]

"mazzarri":
Oppure vuoi chiedere perchè deve essere $ root(n) (A(x)) $ positiva? Guardati il grafico di una radice quadrata per esempio... è sempre positiva... se così non fosse, se la immaginassi con un ramo nelle y negative (ribaltando la funzione $ x^2 $) non sarebbe più una funzione... è questo che stai chiedendo?

Sì, grazie, è esattamente questo ciò che chiedevo.

Ci ho ragionato un po' su, vediamo se ho capito:

Poichè per definizione

$ rootna=b\Leftrightarrowb^n=a $

Il simbolo

$ rootna $

ha significato solo se siamo in grado di associare ad ogni $ a $ uno ed un solo numero $ b $ tale che $ b^n = a $
cioè se è possibile fare l'inverso dell'elevamento a potenza di indice $ n $.
Ma se $ n $ è pari, la funzione di eq:

$ a=b^n $

è biunivoca e quindi invertibile solo per $ b>=0 $.
Quindi nella funzione diretta si deve porre $ b>=0 $ e di conseguenza nella funzione inversa, poiché $ rootna=b $, $ rootna $ assume sempre valori $ >=0 $.

Spero di non aver fatto confusione. Sto rinfrescando nozioni di matematica studiate una decina e passa di anni fa

Grazie mille.