Dubbio su potenza del continuo

[Sk_Anonymous]

Come si dimostra che l'insieme dei numeri reali dell'intervallo $[0;1[$ non è numerabile? Sul mio libro di testo (Lamberti/Mereu/Nanni per il triennio) c'è una dimostrazione (basata sull'impossibilità di esaurire tutti gli elementi di tale insieme in una successione) che tuttavia non riesco a comprendere appieno.

Sarei grato a chiunque potesse illuminarmi.

Saluti cordiali, Delirium

[G.D.5]

Argomento diagonale di Cantor

[Sk_Anonymous]

Se ho capito bene, quindi, in sostanza, la contraddizione finale che porta ad affermare che l'insieme dei numeri reali dell'intervallo $[0;1[$ non è numerabile emerge dall'impossibilità della contemporanea uguaglianza e disuguaglianza dei due numeri $r_n$ e $x$?

[Sk_Anonymous]

Qualcuno potrebbe gentilmente di nuovo illuminarmi?

[blackbishop13]

ma sì, diciamo che l'assuurdo si crea perchè data una numerazione dei reali in $(0,1)$,
riesci a costruire un numero $x$ che contemporaneamente fa e non fa parte di $(0,1)$

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio molto

[blackbishop13]

prego, figurati!

[Sk_Anonymous]

Mi riallaccio a questo argomento senza aprire una nuova discussione.

L'ipotesi del continuo formulata da Cantor è ancora aperta?

[blackbishop13]

vedi: http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo

dipende da che punto di vista.
è stato dimostrato che è indipendente dagli assiomi standard su cui si basa la matematica odierna (Zermelo - Fraenkel con assioma della scelta).
quindi non si può decidere se sia vera o falsa a partire da questi assiomi, è indipendente.

il dibattitto tuttavia è ancora aperto, ma a livelli che secondo me sono quasi filosofici, o comunque fuori dalla portata di semplici studenti.

[Sk_Anonymous]

Capisco (in parte), e ti ringrazio. Purtroppo le mie limitate conoscenze della materia in questione non mi permettono di andare oltre.