Dubbio su integrazione per sostituzione

[jitter1]

Non riesco a capire una cosa...
Supponiamo di dover determinare $ intx cosx^2 dx $ .

Poniamo $ t = x^2, x = sqrt(t) $

Quindi $ dx = 1 / (2 sqrt(t)) dt $ (fin qui tutto ok)

Effettuando il cambio di variabile: $ intx cosx^2 dx $ = $ int sqrt(t) cos t 1 / (2 sqrt(t)) dt $

E' a questo punto che mi chiedo: al primo membro "leggo" $x cosx^2$ IN $dx$ (cioè non considero $ dx$ un fattore); al secondo membro, sostituendo $dx$ con $1 / (2 sqrt(t)) dt$, dovrei leggere... $sqrt(t) cos t $ IN $ 1 / (2 sqrt(t)) dt $? Ma al passaggio successivo $1 / (2 sqrt(t))$ viene moltiplicato con $ sqrt(t) cos t $ :

$ int sqrt(t) cos t 1 / (2 sqrt(t)) dt $ = $ int 1 / 2 cos t dt $

Quindi è come se leggessi: $ int sqrt(t) cos t$ PER $1 / (2 sqrt(t))$ IN $dt $ .

Il mio dubbio è: perché si può considerare $ 1 / (2 sqrt(t)) $ come fattore della funzione integranda e "separarlo" dal suo $ dt $ ?

A qualcuno va di spiegarmi questo fattaccio?

[@melia]

È la definizione di differenziale, data la funzione $f(x)$ il suo differenziale, che si indica con $df$, vale $df=f'(x)*dx$

[jitter1]

… quindi nel nostro caso $x = f(t)$ e $ dx = f'(t) dt $?
Però ancora non mi ritrovo al passaggio successivo, dopo che $dx$ viene sostituito da $ dx = f'(t) dt $… ma non riesco a spiegarmi meglio: allora riprendo il concetto di differenziale, se poi ancora non mi torna… se posso ri-chiederti… intanto grazie!