Dubbio su integrale
Salve a tutti; è dato un semplice integrale:
$\int (sinxcosx)dx$;
siccome cosx è la derivata di sinx ho: $\int sinxcosx dx=(sin^2x)/2 + C_1$;
però è anche $\int sinxcosx dx=-\int -sinxcosxdx=-(cos^2x)/2 + C_2$ giusto?
Ora mi chiedo se è corretto porre $(sin^2x)/2 + C_1=-(cos^2x)/2 + C_2$; se sì, $C_1$ e $C_2$ sono distinti tra loro, vero? Altrimenti si avrebbe $sin^2x+cos^2x=0$, il che è falso..e se è corretta l'uguaglianza, $C_2-C_1$ dovrebbe essere uguale a $1/2$..no? Grazie e spero di non aver detto eresie..
$\int (sinxcosx)dx$;
siccome cosx è la derivata di sinx ho: $\int sinxcosx dx=(sin^2x)/2 + C_1$;
però è anche $\int sinxcosx dx=-\int -sinxcosxdx=-(cos^2x)/2 + C_2$ giusto?
Ora mi chiedo se è corretto porre $(sin^2x)/2 + C_1=-(cos^2x)/2 + C_2$; se sì, $C_1$ e $C_2$ sono distinti tra loro, vero? Altrimenti si avrebbe $sin^2x+cos^2x=0$, il che è falso..e se è corretta l'uguaglianza, $C_2-C_1$ dovrebbe essere uguale a $1/2$..no? Grazie e spero di non aver detto eresie..
Risposte
il fatto che tu abbia $1/2*sin^2x+1/2*cos^2x=1/2="costante"$ ti fa pensare che appunto è indifferente quale delle due primitive tu scelga... primitive a meno di una costante additiva arbitraria... $C_1, C_2$ non sono due valori da determinare, ti dicono solo che per qualunque valore tu trovi una primitiva... è chiaro? ciao.
Ok grazie! Era per vedere in che relazione stavano tra loro le costanti..così una curiosità..
prego!
perché non provi a scriverlo sotto forma di integrale definito?
perché non provi a scriverlo sotto forma di integrale definito?
Ma che valori devo dare?
Ora devo andare, domani provo! Grazie di nuovo!
mi aspettavo questa domanda. in realtà stavo per aggiungere una noticina all'altro messaggio:
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io proverei sia con estremi standard (multipli di $pi/2$), con il "rischio" che l'integrale sia nullo, sia con estremi di archi particolari (tieni conto della circonferenza goniomentrica) che però non siano tra loro in particolari relazioni di simmetria rispetto agli assi o alle bisettrici dei quadranti... usa un po' di fantasia.
è solo un'idea. magari non ti aiuta... ma chissà... ciao.
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io proverei sia con estremi standard (multipli di $pi/2$), con il "rischio" che l'integrale sia nullo, sia con estremi di archi particolari (tieni conto della circonferenza goniomentrica) che però non siano tra loro in particolari relazioni di simmetria rispetto agli assi o alle bisettrici dei quadranti... usa un po' di fantasia.
è solo un'idea. magari non ti aiuta... ma chissà... ciao.
se pensi,è anche uguale a $1/2int2senxcosxdx$ =$1/2intsen2x$ $=-1/2[cos2x]/2+c$. Ti consigliava di provare l'integrale definito,così da poter dare dei valori a C1 e C2 e vedere che effettivamente differiscono.Se non ha capito ti posto un esempio.
Penso di aver capito..cioè ho provato a dare come valori per esempio $pi/6$ e $pi/4$ e ho trovato l'integrale usando tutte e tre le formule, però C1 e C2 scompaiono, no? Grazie
le costanti definiscono la particolare primitiva tra le infinite individuate dall'integrale indefinito... tu probabilmente hai verificato che "l'area..., cioè l'integrale definito" è lo stesso se consideri la funzione con il seno oppure la funzione con il coseno... probabilmente avrai constatato che i valori agli estremi sono gli stessi (anche se non ci si può fidare che sia sempre così)... però molto probabilmente tu hai posto C1=C2=0, ma avresti potuto prendere due valori qualsiasi... ed effettivamente si constata che le costanti "si semplificano" quando si fa la differenza di due valori della primitiva agli estremi...
abbiamo divagato a lungo. spero sia chiaro che C1 e C2 sono indipendenti... questo era per dire che "non doveva essere" C1-C2=1/2, come nel dubbio inizialmente manifestato.
con valori molto più particolari (tipo da 0 a pi greco) hai provato?
ciao.
abbiamo divagato a lungo. spero sia chiaro che C1 e C2 sono indipendenti... questo era per dire che "non doveva essere" C1-C2=1/2, come nel dubbio inizialmente manifestato.
con valori molto più particolari (tipo da 0 a pi greco) hai provato?
ciao.
Sì, ho provato, mi torna 0; quindi dall'integrale definito si vede che le costanti, poiché si semplificano, possono assumere qualsiasi valore e perciò non sono in relazione tra loro..chiariti i dubbi; ti ringrazio!
prego!
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