Dubbio su funzione integrale

[PieroH1]

Salve, sono al quinto anno di liceo e stiamo affrontando le funzioni integrali... Ma ho un dubbio:
da quel che ho capito se abbiamo una funzione $f(x)$ continua in un intervallo $[a,b]$, allora la sua funzione integrale è $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ che è anche una sua primitiva perchè derivandola otteniamo $F'(x)=f(x)$.

Se ad esempio prendiamo una funzione $f(x)=1/x$ e una sua primitiva $F(x)=ln|x|$.
Quando vogliamo calcolarci l'area di $f(x)$ in un intervallo [1,2] dobbiamo calcolare la primitiva in due punti e farne la differenza, quindi: $F(2)-F(1)$.
Quando calcoliamo la primitiva nel punto $F(2)=ln(2)~~0.6$ cosa otteniamo esattamente?
$F(2)~~0.6~~\int_a^2 1/t dt$? quale sarebbe il punto a?

[gugo82]

Il tuo punto $a$, in questo caso, è un qualsiasi punto dell'intervallo $]0,+oo[$...

Tuttavia, c'è un equivoco di fondo, che viene dall'uso "intercambiabile" dell'articolo determinativo ed indeterminativo.
Spiego meglio.
Tu scrivi:

"PieroH":Se ad esempio prendiamo una funzione $ f(x)=1/x $ e una sua primitiva $ F(x)=ln|x| $.

Qui l'articolo usato è giusto: $F(x) = ln x$ (non ci vuole il valore assoluto, ma spiegarlo richiede uno sforzo che ora non ci interessa fare) è una tra le infinite primitive di $f(x)=1/x$ nell'intervallo $]0,+oo[$.
Tutte le altre primitive di $f$ si ricavano sommando ad $F$ una costante additiva arbitraria (questo è un fatto noto dalla teoria dell'integrazione indefinita): ciò significa che ogni altra primitiva di $f$ è una funzione del tipo $G(x) = F(x) + C = ln x + C$, con $C in RR$.[nota]Ho scelto $G$ per denotare la generica primitiva di $f$ ("g" è l'iniziale di "generica").[/nota]

Poi scrivi:

"PieroH":Quando vogliamo calcolarci l'area di $ f(x) $ in un intervallo, ad esempio $[1,2]$, dobbiamo calcolare la primitiva [strike]in due punti[/strike] nei due estremi dell'intervallo e farne la differenza, quindi: $ F(2)-F(1) $.

Qui l'articolo non è giusto, ci va l'articolo indeterminativo.
Infatti, la formula fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli & Barrow) ti dice che l'uguaglianza $int_1^2 f(x)"d" x = G(2)-G(1)$ vale per qualsiasi primitiva $G$ tu voglia scegliere.
Questo significa che, se vuoi calcolare $int_1^2 f(x)"d" x$, puoi scegliere la funzione integrale $int_a^x f(t)"d"t$... Ma, se ti conviene, puoi scegliere una qualsiasi altra primitiva $G$ di $f$: la formula funziona lo stesso.
In particolare, puoi scegliere per il calcolo la primitiva $F$ che ti esce dal calcolo dell'integrale indefinito, ed il gioco è fatto.

Dalle tabelle di integrazione sai che una primitiva di $f(x)$ in $]0,+oo[$ è $F(x)=ln x$; quindi dalla formula di Torricelli & Barrow ottieni:

$int_1^2 1/x " d" x = ln 2 - ln 1 = ln 2 ~~ 0.6$.


Tuttavia, la questione del punto $a$ che ponevi a fine post è degna di approfondimento.
Osserva, per quanto detto prima che, comunque scegli $a>0$ per la funzione integrale $int_a^x f(t)"d" t$ ottieni l'espressione esplicita:

$int_a^x f(t) " d"t = ln x - ln a = F(x) - ln a$.

Se vuoi sapere se esistono valori di $a$ per cui $int_a^x f(t)"d" t = F(x)$ basta sostituire alla funzione integrale l'espressione ricavata sopra e risolvere rispetto ad $a$: hai:

$int_a^x f(t)" d" t = F(x) <=> F(x) - ln a = F(x) <=> ln a = 0 <=> a = 1$;

dunque:

$int_1^x f(t) " d" t = ln x$.

[PieroH1]

Quindi i valori che assume $F(x)=ln|x|$ sono le varie aree di $f(x)= 1/x$ calcolate a partire dal punto $a=1$?

[gugo82]

Sì e no... Può essere (la misura di) un’area il valore $F(1/2)$?

[PieroH1]

Dato che $1/2<1$ è come se gli estremi di integrazione fossero invertiti, quindi
$-\int_{1}^{1/2} 1/t dt~~0,69 $
A me quello che crea confusione è:
come e da cosa una generica funzione integrale $F$ prenda i valori delle aree.

[gugo82]

"PieroH":Dato che $1/2<1$ è come se gli estremi di integrazione fossero invertiti, quindi
$-\int_{1}^{1/2} 1/t dt~~0,69 $

Nono... Nessun "come se": in Matematica non si finge.

Quando in un integrale definito $int_a^b f(x) "d" x$ hai $b
$int_a^b f(x) " d"x = -int_b^a f(x)" d"x$.

Quindi, nel tuo caso:

$int_1^(1/2) 1/x " d"x = - int_(1/2)^1 1/x " d" x = -[ ln 1 - ln (1/2)] = ln (1/2) = - ln 2 ~~ -0.6$

sicché il numero $int_1^(1/2) 1/x "d" x$ è negativo.
La questione, allora, è proprio questa: può un numero negativo essere il valore (della misura) di un'area?

"PieroH":A me quello che crea confusione è:
come e da cosa una generica funzione integrale $F$ prenda i valori delle aree.

Perché ti crea confusione?

Vediamo un po'... Ragioniamo innanzitutto con un esempio.

In Figura 1 ho disegnato il grafico della funzione $f(x) = 1/2 x + 2$ per $x>= 0=a$:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=0; ymax=6;
axes("","");
text([6,0],"X", belowright); text([0,6],"Y",aboveleft);
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("0.5*x+2",0,7);[/asvg]
che è un tratto della retta di equazione $Y=1/2 X + 2$.[nota]Ho chiamato le coordinate nel piano con le lettere maiuscole, cioè $X$ ed $Y$, per non confondere la variabile $x$ con l'ascissa $X$ del generico punto del piano.[/nota]
Consideriamo la parte di piano compresa tra le rette verticali di equazione $X=0$ ed $X=x$, l'asse delle ascisse di equazione $Y=0$ ed il grafico della funzione $f$; scegliendo arbitrariamente $x>0$ e disegnando la parte di piano descritta sopra otteniamo la regione in Figura 2:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=0; ymax=6;
axes("","");
text([2.4,0], "x", below);
text([6,0],"X", belowright); text([0,6],"Y",aboveleft);
stroke="red";
fill="orange";
path([[0,0], [2.4,0], [2.4,3.2], [0,2], [0,0]]);
strokewidth=2;
plot("0.5*x+2",0,7);[/asvg]
che è un trapezio rettangolo avente altezza $h=x$, base minore $b=2$ e base maggiore $B=f(x)=1/2 x + 2$. Chiaramente, cambiando il valore di $x$, ossia facendo scorrere il punto $x$ verso destra, si ottengono trapezi rettangoli con differenti basi maggiori e, dunque, diverse aree; per questo motivo l'area della parte di piano delimitata dalle rette $X=0$, $X=x$, $Y=0$ e dal grafico di $f$ si può esprimere in funzione di $x$:

$A(x) = "area del trapezio delimitato da " X=0, X=x, Y=0 " e dal grafico di " f$.

Nel caso in esame, il valore di $A(x)$ lo possiamo calcolare con una nota formula di Geometria Elementare e troviamo:

$A(x) = ((B+b)*h)/2 = ((f(x) + 2)*x)/2 = (1/2 x^2 + 4x)/2$,

quindi $A(x) = 1/4 x^2 + 2x$ esprime l'area della zona arancione sotto il grafico di $f$.

Andiamo a vedere cosa succede calcolando esplicitamente la funzione integrale di $f$ con punto iniziale $a=0$: abbiamo:

$F(x)=int_0^x f(t) " d" t = int_0^x (1/2 t + 2)" d" t = [1/4 t^2 + 2t]_0^x = 1/4 x^2 + 2 x$

e così si vede che $F(x)=A(x)$, cioè la funzione integrale $F(x)$ con punto iniziale $0$ fornisce (la misura del)l'area $A(x)$ della regione arancione sottesa al grafico di $f$.

Questo esempio ci da modo di intuire che le cose, in alcuni casi, vanno effettivamente come tu dici: la funzione integrale misura un'area... Tuttavia, l'esempio non spiega "perché" ciò accada.
Il "perché" di una affermazione matematica va ricercato 1) nella sua dimostrazione e 2) nei controesempi che possono essere esibiti quando non sono soddisfatte tutte le ipotesi che garantiscono il funzionamento della dimostrazione.
Il problema è che, a questo punto dei tuoi studi, non hai gli strumenti che rendono possibile la comprensione piena della faccenda.[nota]In realtà, mancano già le basi... Che cos'è la misura di un'area? Di quali figure si può misurare l'area? Dei poligoni sì, si può; ma in generale la parte sottesa al grafico di una curva non è un poligono... Quindi siamo sicuri che abbia senso parlare di "area"?[/nota]
Quel che possiamo fare qui è ragionare "alla buona", come facevano i padri del Calcolo Differenziale ed Integrale, cioè Leibniz e Newton, per fornire una pseudo-dimostrazione del legame tra funzione integrale (e, quindi, primitive) ed il calcolo delle aree.
In particolare, seguiamo Leibniz e disegniamo nel sistema di assi $OXY$ il grafico di una funzione continua e positiva $f$:
[asvg]xmin=-1; xmax=6; ymin=-1; ymax=6;
axes("","");
text([6,0],"X", belowright); text([0,6],"Y",aboveleft);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("1+2*sqrt(x-1)", 1, 7);[/asvg]
fissiamo un $x>1$ ed un incremento $Delta x$ "molto piccolo", e consideriamo le due regioni di piano comprese tra le rette $X=1$, $X=x$, $Y=0$ e tra le rette $X=1$, $X=x+Delta x$, $Y=0$ ed il grafico di $f$.
La differenza tra le aree di tali regioni, ossia la differenza $Delta A = A(x+Delta x) - A(x)$, coincide con l'area della parte di piano compresa tra le rette $X=x$, $X=x+Delta x$, $Y=0$ ed il grafico di $f$ che è evidenziata nella figura che segue:
[asvg]xmin=-1; xmax=6; ymin=-1; ymax=6;
axes("","");
text([6,0],"X", belowright); text([0,6],"Y",aboveleft);
text([4.3,0],"x",below); text([5.1,0],"x+Δx",belowright);
stroke="red";
fill="orange";
path([[4.3,0],[5.1,0],[5.1,5.05],[4.3,4.633],[4.3,0]]);
stroke="orange"; plot("1+2*sqrt(x-1)", 4.3, 5.1);
fill="none";
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("1+2*sqrt(x-1)", 1, 7);[/asvg]
L'area $Delta A$ può essere approssimata con l'area di un rettangolo avente base l'intervallo $[x,x+Delta x]$ sull'asse delle ascisse ed altezza lunga $f(c)$, in cui $x<= c <= x+ Delta x$, come si vede confrontando la figura precedente con la seguente.
[asvg]xmin=-1; xmax=6; ymin=-1; ymax=6;
axes("","");
text([6,0],"X", belowright); text([0,6],"Y",aboveleft);
text([4.3,0],"x",below); text([5.1,0],"x+Δx",belowright); text([4.69,0],"c", below);
line([4.3,4.841],[0,4.841]); text([0,4.841],"f(c)",left);
stroke="red";
fill="yellow";
path([[4.3,0],[5.1,0],[5.1,4.841],[4.3,4.841],[4.3,0]]);
fill="none";
stroke="black"; line([4.69,0],[4.69,4.841]);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("1+2*sqrt(x-1)", 1, 7);[/asvg]
Dunque:

$Delta A ~~ f(c) * Delta x => (Delta A)/(Delta x) ~~ f(c)$.

Ora, se mandiamo $Delta x -> 0$, il primo membro della precedente diventa $A^\prime (x)$, mentre il secondo tende a $f(x)$ (poiché da $x <= c <= x+Delta x$ e dal Teorema dei Carabinieri segue $c -> x$ e per la continuità di $f$ otteniamo $f(c) -> f(x)$), cosicché al limite abbiamo:

$A^\prime (x) = f(x)$.

Questo vuol dire che la funzione $A$ che misura le aree delle parti di piano sottostanti il grafico di $f$ è una funzione la cui derivata coincide con $f$, ossia che $A$ è una primitiva di $f$.
Ma, visto che le primitive di $f$ si esprimono sfruttando la funzione integrale $F(x) = int_1^x f(t)"d" t$, è chiaro che anche l'area $A$ si esprime sfruttando opportunamente la funzione integrale $F$... Questo "spiega" perché la funzione integrale fornisce anche la misura di un'area.

[PieroH1]

Ora è più chiaro, grazie mille