Dubbio su esercizio compito in classe
Avevo il seguente esercizio da svolgere:
La funzione $y=|x|sinx$ è derivabile in $RR$ ?
Io l'ho risolta così:
${(x>=0),(y=xsinx):} vv {(x<0),(y=-xsinx):}$
quindi
${(x>=0),(y'=sinx+xcosx):} vv {(x<0),(y=-(sinx+xcosx)):}$
Ho analizzato che succede in $x=0$ facendo la derivata destra e sinistra:
$y'_((0))^(+) = 0 + 0*1 = 0$
$y'_((0))^(-) = -(0+0*1) = 0$
e quindi, essendo la derivata destra uguale a quella sinistra in $x=0$, la funzione è derivabile anche in $x=0$ e quindi in $RR$.
Ma ho fatto bene? Una mia compagna dice che la derivata sinistra è uguale a $0^-$ mentre quella destra è uguale a $0^+$ e che quindi essendo diverse non è derivabile in $x=0$. Chi ha ragione???
La funzione $y=|x|sinx$ è derivabile in $RR$ ?
Io l'ho risolta così:
${(x>=0),(y=xsinx):} vv {(x<0),(y=-xsinx):}$
quindi
${(x>=0),(y'=sinx+xcosx):} vv {(x<0),(y=-(sinx+xcosx)):}$
Ho analizzato che succede in $x=0$ facendo la derivata destra e sinistra:
$y'_((0))^(+) = 0 + 0*1 = 0$
$y'_((0))^(-) = -(0+0*1) = 0$
e quindi, essendo la derivata destra uguale a quella sinistra in $x=0$, la funzione è derivabile anche in $x=0$ e quindi in $RR$.
Ma ho fatto bene? Una mia compagna dice che la derivata sinistra è uguale a $0^-$ mentre quella destra è uguale a $0^+$ e che quindi essendo diverse non è derivabile in $x=0$. Chi ha ragione???
Risposte
tu
Evviva!!!!! Quindi la risposta è: Si, è derivabile in $RR$...
Meno male
Meno male
scusate l'ignoranza e l'intromissione.... ma un valore assoluto il cui argomento in un determinato punto è 0, è derivabile???
Non dovremmo essere in presenza di un punto angoloso in x=0 invece???
Non dovremmo essere in presenza di un punto angoloso in x=0 invece???
Si ha un punto angoloso quando il valore della derivata non esiste nel punto $x_(0)$ e la funzione è derivabile a destra ed a sinistra. Nel caso in oggetto il valore della derivata esiste nel punto 0 ed è uguale a 0 quindi la funzione è derivabile in $R$
@Bartolomeo
certo, il valore assoluto in $0$ non è derivabile (ha un punto angoloso, ovvero ha derivata destra e sinistra e queste sono diverse)
qui però la funzione non era il valore assoluto, ma $f(x)=|x| \sin (x)$
per capire cosa succede, come mai sparisce il punto angoloso, il punto chiave è che la funzione $\sin (x)$ ha $0$ come limite per $x -> 0$
esagerando un po' l'effetto, prova a immaginare cosa succederebbe se tu moltiplicassi $|x|$ per la funzione identicamente nulla
ultima osservazione/suggerimento: prova a disegnare il grafico di $y = x |x|$. Dovresti vedere "a occhio" quello che succede
ciao
certo, il valore assoluto in $0$ non è derivabile (ha un punto angoloso, ovvero ha derivata destra e sinistra e queste sono diverse)
qui però la funzione non era il valore assoluto, ma $f(x)=|x| \sin (x)$
per capire cosa succede, come mai sparisce il punto angoloso, il punto chiave è che la funzione $\sin (x)$ ha $0$ come limite per $x -> 0$
esagerando un po' l'effetto, prova a immaginare cosa succederebbe se tu moltiplicassi $|x|$ per la funzione identicamente nulla
ultima osservazione/suggerimento: prova a disegnare il grafico di $y = x |x|$. Dovresti vedere "a occhio" quello che succede
ciao
perfetto... grazie ora ho capito!
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