Dubbio su dominio di una funzione razionale con moduli

[Nepenthe]

Salve, mi sono imbattuto in questa funzione e non riesco a capire perché non mi riporta, potete aiutarmi?
La funzione è questa:

$sqrt(|x+4|-|x|)$

Per $x<-4$ la funzione non esiste dato che $sqrt(-4)$ è impossibile nel campo reale.

Per $-40$ (cioè sempre) e -2 per $2<0$ (cioè mai). (Correggetemi se sbaglio). Quindi per $-4
Per $x>0$ mi viene $sqrt(2x+4)$ ma anche qui è sbagliato.

Dovrebbe riportare $sqrt(2x+4)$ per $-20$ ...

Qualcuno sa spiegarmi perchè?

[Lorin1]

Se stai studiando il dominio di questa funzione, devi porre $|x+4|-|x|>=0$ , e poi fare la discussione di una disequazione in valore assoluto, nella quale dovresti trovare tre sistemi con relative condizioni.

EDIT: ti riporto gli intervalli

${\(x<=-4),(-4>=0):} uu {\(-4<=x<=0),(2x+4>=0):} uu {\(x>=0),(4>=0):}$

[giammaria2]

Anzichè risolvere tre sistemi, si può anche notare che, stante la presenza dei valori assoluti, la disequazione $|x+4|>=|x|$ è equivalente a $(x+4)^2>=x^2=>...=>x>=-2$.

[Lorin1]

Si quella di solito è la strada più breve, ma è sempre meglio fare una discussione completa.