Dubbio su dimostrazione per assurdo

[Sk_Anonymous]

Supponiamo che io, dopo dei ragionamenti meramente mentali e razionali non appoggiati da alcuna dimostrazione matematica rigorosa, giunga a formulare una tesi $A$. Volendo provare indi matematicamente che tale tesi è valida, mi affido alla tecnica della dimostrazione per assurdo. A questo punto è sufficiente che io trovi un esempio che contraddica non-$A$ per poter affermare con certezza che $A$ è corretta? Come faccio a sapere che non esiste almeno un esempio che invalidi anche $A$?

[yellow2]

Infatti non funziona così la dimostrazione per assurdo!

Devi mostrare che prendendo non-A arrivi a contraddire le ipotesi, oppure che prendendo l'ipotesi più non-A arrivi ad un assurdo di qualsiasi tipo!

Esempio
Dimostriamo la legge dell'annullamento del prodotto per i numeri reali ossia:
se $ab=0$, allora $a=0$ oppure $b=0$.

Supponiamo per assurdo che sia vera la negazione della tesi, ovvero che:
esistono $a$ e $b$ entrambi diversi da 0 tali che $ab=0$.

Ma allora possiamo dividere entrambi i membri per $a$ che è diverso da 0 e avremo:
$b=0$ che è in contraddizione con quanto avevamo supposto!

Se vuoi rendere l'assurdo ancora più evidente puoi dire: adesso dividiamo entrambi i membri per $b$, anch'esso diverso da 0.
Allora $1=0$.


Evidentemente c'è qualcosa che non va, per cui prendendo per buono il fatto che si possa dividere per un numero $a$ diverso da 0 (o meglio moltiplicare per l'inverso di $a$, che è una proprietà basilare dei numeri reali e quindi fa parte delle nostre ipotesi) vuol dire che il problema era in quello che abbiamo supposto PER ASSURDO.

[Sk_Anonymous]

Ok, fin qui ci sono. La dimostrazione che mi perplime, e che forse avrei dovuto postare in principio, è tuttavia un'altra.

-Dal mio libro di testo-
Assunto: se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$, privato al più del punto $x_0$, in cui risulta $f(x)>0$, e se esiste $lim_(x->x_0)f(x)=l$, si avrà che $l>0$.
Dimostrazione: sia per esempio $f(x)>0$. Dalla definizione di limite, preso $\epsilon>0$, è possibile determinare in corrispondenza di esso un numero $\delta_\epsilon>0$ tale che, se $x in D_f$: $0<|x-x_0|<\delta_\epsilon$ implichi $|f(x)-l|<\epsilon$.
Supponiamo ora per assurdo che sia $l<0$; scegliendo $\epsilon=-l/2>0$ si avrebbe che $f(x)0$. Sarà dunque $l>0$.

Perplessità: dato che il valore di $\epsilon$ è arbitrario, potrei porlo $=-2l$ (con $l<0$) e risulterebbe, servendosi della definizione di limite, che $|f(x)-l|<-2l$ e pertanto $l+2l0$ (poiché infatti $l-2l>0$). Sicuramente mi sfugge qualcosa... Qualcuno può illuminarmi? Oppure è sottointeso che $\epsilon$, purché arbitrario, debba comunque essere $

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[yellow2]

Infatti prendendo $epsilon$ più grande, come hai fatto te, non si riesce a concludere niente. Ma la definizione di limite ti dice che l'intorno può essere piccolo a piacere e in ogni caso avrai che la funzione sta lì dentro per $x$ abbastanza vicino a $x_0$. Per cui, supponendo per assurdo che il limite sia minore di zero, prendendo un $epsilon$ abbastanza piccolo dovresti avere che in un intorno di $x_0$ la funzione è tutta negativa, perchè è molto vicina a $l$ che è minore di $0$. Ma questo è in contrasto con le ipotesi.

[Sk_Anonymous]

"yellow":Infatti prendendo $epsilon$ più grande, come hai fatto te, non si riesce a concludere niente.

Allora $\epsilon$ non è un valore comunque piccolo preso a piacere... Non dovrebbero pertanto esserci delle restrizioni nell'enunciato della dimostrazione?

[yellow2]

Il fatto che non si riesca a concludere la tesi non vuol dire che ci siano veramente dei problemi!
Se esiste il limite $l$, $epsilon$ è semplicemente un valore maggiore di zero a piacere per cui puoi trovare un intorno di $x_0$ tale che la funzione sia distante non più di $epsilon$ dal punto limite.
Puoi prenderlo grande quanto vuoi, e a maggior ragione tale intorno esisterà.
Ma il limite esiste se e solo se questa proprietà vale per qualsiasi $epsilon>0$. Di conseguenza se il limite è $l<0$ è lecitissimo scegliere $epsilon=-l/2$ e aspettarsi che la funzione abbastanza vicino a $x_0$ sia tutta a una distanza massima di $-l/2$ dal limite, ossia tra le altre cose tutta negativa. Ma questo è impossibile, perché per ipotesi $f(x)>0$ vicino a $x_0$. Allora il limite non può essere minore di zero.

[Sk_Anonymous]

In primis ti ringrazio per la disponibilità che stai dimostrandomi, veramente notevole. Il problema è che mi sfuggono ancora alcuni particolari; forse è soltanto una questione di abitudine, devo adeguare la mente a queste dimostrazioni di analisi che implicano ragionamenti un poco differenti dalle altre.
Tuttavia vorrei esporti i piccoli dubbi rimasti, nella speranza di poterli dipanare. Facendo il punto della situazione: devo in sostanza dimostrare che in un punto $x_0 in D_f$ la funzione $f(x)>0$ ammetta il $lim_(x->x_0)f(x)=l$, e che $l>0$, concordando quindi con il segno di $f(x)$ in $x_0$. Per assurdo assumo che $l<0$ e che $\epsilon=-l/2>0$; la dimostrazione di cui sopra mi conduce ad un nonsense, quindi ritorno sui miei passi e ammetto che $l>0$. Primo dubbio: è bastevole questo unico esempio per invalidare la tesi supposta per assurdo (ovvero che $l<0$)? Secondo dubbio: non capisco perché si è posto proprio $\epsilon=-l/2$; per comodità? Eppure, ponendolo $=-2l$, si giungerebbe ad una conclusione diversa. Perché? Non dovrebbe la definizione di limite essere valida per qualsiasi $\epsilon>0$?

Grazie ancora

Possibile autorisposta al secondo dubbio: la definizione è comunque non verificata anche per $\epsilon=-2l$, ma l'intervallo così scelto è troppo ampio per rendersi conto dell'effettivo segno della funzione.

[yellow2]

Allora, prima di tutto provo a chiarire un po' meglio il dubbio iniziale che ti aveva portato ad aprire il topic.

Il tuo problema - Come mai è sufficiente guardare un singolo valore di $epsilon$ se la definizione parla di "ogni $epsilon$"?
La mia risposta - Se tu stessi cercando di dimostrare che il limite è un tale $l$, in effetti, dimostrare quella proprietà per un $epsilon$ specifico non sarebbe stato sufficiente. Ma tu invece devi dimostrare che il limite NON è $l$, se $l$ è minore di zero. Per cui ti basta trovare un singolo $epsilon$ per cui la proprietà non può essere vera e questo manda completamente all'aria la sua possibilità di essere limite, proprio perché, per esserlo, la proprietà dovrebbe essere vera PER OGNI $epsilon$:
In termini più tecnici, la negazione di "per ogni $epsilon$>0 succede ABC" è "esiste almeno un $epsilon$>0 tale che NON succede ABC", e nel nostro caso ABC è una serie di conseguenze che, con $epsilon=-l/2$, si scopre non essere possibile perché in contraddizione con l'ipotesi.

Adesso con calma rispondo al tuo ultimo post, ma intanto ti è chiaro questo?

[Sk_Anonymous]

"yellow":Allora, prima di tutto provo a chiarire un po' meglio il dubbio iniziale che ti aveva portato ad aprire il topic.

Il tuo problema - Come mai è sufficiente guardare un singolo valore di $epsilon$ se la definizione parla di "ogni $epsilon$"?
La mia risposta - Se tu stessi cercando di dimostrare che il limite è un tale $l$, in effetti, dimostrare quella proprietà per un $epsilon$ specifico non sarebbe stato sufficiente. Ma tu invece devi dimostrare che il limite NON è $l$, se $l$ è minore di zero. Per cui ti basta trovare un singolo $epsilon$ per cui la proprietà non può essere vera e questo manda completamente all'aria la sua possibilità di essere limite, proprio perché, per esserlo, la proprietà dovrebbe essere vera PER OGNI $epsilon$:
In termini più tecnici, la negazione di "per ogni $epsilon$>0 succede ABC" è "esiste almeno un $epsilon$>0 tale che NON succede ABC", e nel nostro caso ABC è una serie di conseguenze che, con $epsilon=l/2$, si scopre non essere possibile perch in contraddizione con l'ipotesi.

Adesso con calma rispondo al tuo ultimo posto, ma intanto ti è chiaro questo?

Chiarissimo. Mi hai chiarito il dubbio n° 1 (del post appena precedente).

[yellow2]

"Delirium":
Facendo il punto della situazione: devo in sostanza dimostrare che in un punto $x_0 in D_f$ la funzione $f(x)>0$ ammetta il $lim_(x->x_0)f(x)=l$, e che $l>0$, concordando quindi con il segno di $f(x)$ in $x_0$. Per assurdo assumo che $l<0$ e che $\epsilon=-l/2>0$; la dimostrazione di cui sopra mi conduce ad un nonsense, quindi ritorno sui miei passi e ammetto che $l>0$.

Non proprio. Tu sai già per ipotesi che che nel punto $x_o in D_f$ la funzione ammette limite (che chiami $l$). L'unica cosa che dimostri è che questo limite non può essere minore di zero. Di conseguenza sarà $l>=0$ (può anche essere uguale a zero).


Integro il post con:

"Delirium":Possibile autorisposta al secondo dubbio: la definizione è comunque verificata anche per $\epsilon=-2l$, ma l'intervallo così scelto è troppo ampio per rendersi conto dell'effettivo segno della funzione.

Sì, quasi. Ti correggo solo una cosa qui. La definizione di limite è comunque NON verificata (se $l<0$), ma se epsilon è troppo grande non ce ne possiamo accorgere.
Però in effetti quello che facciamo è "far finta" che sia verificata per cercare una contraddizione. Soltanto che per un intervallo che "invade" la metà di sopra del piano cartesiano la contraddizione non è resa evidente.

[Sk_Anonymous]

Perfetto, ho editato lo spoiler.
Sei stato molto gentile e paziente, ti ringrazio veramente!
Scusa se ti ho insidiato con mille richieste, ma tendo ad essere un perfezionista e voglio che ogni cosa che studio mi sia perfettamente chiara, in particolare modo se si parla di matematica!

Grazie ancora, alla prossima!

[yellow2]

Ma ci mancherebbe, hai fatto benissimo a chiedere. E fai conto che sono definizioni molto più complicate del concetto che definiscono, inoltre c'è una logica dietro non semplicissima (tutti quei quantificatori...) che in una dimostrazione per assurdo si rivela arcigna. Io al liceo non avevo nemmeno capito bene le definizioni, figurati se sarei riuscito a comprendere senza problemi una dimostrazione per assurdo!

PS: ho modificato il mio ultimo post mille volte aggiungendo delle cose in fondo, vattelo a rileggere!

Ciao, è stato un piacere. Alla prossima spero, i dubbi sono salutari.