Dubbio soluzione disequazione fratta con logaritmi
Ciao a tutti, la disequazione è :
$log_(2/5) ((x+1)/(x-1))>=0$
Se la risolvo in questa forma fratta mi viene il risultato giusto ( $x<-1$ ).
Però, ricordando le proprietà dei logaritmi posso scriverla come:
$log_(2/5) (x+1) -log_(2/5) (x-1) >=0$ con le $C.E$ della forma fratta,ovvero: $ x<-1 V x>1$
Dunque risolvo:
$log_(2/5) (x+1) >= log_(2/5) (x-1)$
$x+1<=x-1$
$2<=0$ Dunque questa disequazione non ha soluzioni in $RR$.
Dove ho sbagliato, si può portare portare la forma fratta dell'argomento in operazioni tra logaritmi e viceversa? (es. $log_a(x)-log_a(x+1)>0$ diventa $log_a ((x)/(x+1))>0$ ? )
Grazie
$log_(2/5) ((x+1)/(x-1))>=0$
Se la risolvo in questa forma fratta mi viene il risultato giusto ( $x<-1$ ).
Però, ricordando le proprietà dei logaritmi posso scriverla come:
$log_(2/5) (x+1) -log_(2/5) (x-1) >=0$ con le $C.E$ della forma fratta,ovvero: $ x<-1 V x>1$
Dunque risolvo:
$log_(2/5) (x+1) >= log_(2/5) (x-1)$
$x+1<=x-1$
$2<=0$ Dunque questa disequazione non ha soluzioni in $RR$.
Dove ho sbagliato, si può portare portare la forma fratta dell'argomento in operazioni tra logaritmi e viceversa? (es. $log_a(x)-log_a(x+1)>0$ diventa $log_a ((x)/(x+1))>0$ ? )
Grazie
Risposte
"lordb":
...Se la risolvo in questa forma fratta mi viene il risultato giusto ( $x<-1$ ). ...
secondo me non è questo il risultato giusto...
Questi sono i calcoli che mi portano a dire che il risultato sia $x<-1$ (tra l'altro il risultato riportato nel mio libro).
$log_(2/5) ((x+1)/(x-1)) >=0$ con $CE$:$x<-1 V x>1$
$(x+1)/(x-1)<= 1$
$(x+1-x+1)/(x-1)<=0$
Studio del Segno
$2>=0$ $ AA x in RR $
$x>1$
la funzione è negativa per $x<1$
Confronto con $CE$
--------------($-1$) -----------($+1$)
--------------
Quindi la soluzione è $x<-1$
Qualcosa non torna ?
$log_(2/5) ((x+1)/(x-1)) >=0$ con $CE$:$x<-1 V x>1$
$(x+1)/(x-1)<= 1$
$(x+1-x+1)/(x-1)<=0$
Studio del Segno
$2>=0$ $ AA x in RR $
$x>1$
la funzione è negativa per $x<1$
Confronto con $CE$
--------------($-1$) -----------($+1$)
--------------
Quindi la soluzione è $x<-1$
Qualcosa non torna ?
sì scusa non avevo fatto caso alla base del logaritmo...
Non penso si possa fare, dal momento che quella che hai è una disequazione fratta, e nelle disequazioni fratte non si può rimuovere il denominatore. Può darsi anche che il ragionamento che ho fatto sia errato, se lo è, correggetemi.
...anche perchè se la scrivi come differenza di due logaritmi le condizioni di esistenza sono diverse, nel senso che ti "togli" tutte le $x$ minori di $-1$
EDIT: provo a dirla meglio: la proprietà che hai scritto vale solo se numeratore e denominatore sono positivi, mentre le condizioni di esistenza dell'argomento del logaritmo di partenza sono "più ampie", in pratica con quel passaggio "imponi" che N e D siano positivi entrambi (e non solo concordi)
EDIT: provo a dirla meglio: la proprietà che hai scritto vale solo se numeratore e denominatore sono positivi, mentre le condizioni di esistenza dell'argomento del logaritmo di partenza sono "più ampie", in pratica con quel passaggio "imponi" che N e D siano positivi entrambi (e non solo concordi)
Le proprietà dei logaritmi si possono applicare solo se gli argomenti dei logaritmi sono positivi.
Quindi nel tuo caso non possono essere applicate, è giusto solo risolverla così come te la dà il testo
Quindi nel tuo caso non possono essere applicate, è giusto solo risolverla così come te la dà il testo
Ricapitolando: la disequazione
$log_(2/5) ((x+1)/(x-1))>=0$ ha come dominio $x<-1 vv x> 1$
Se la vuoi spezzare devi ricordare di mantenere positivi gli argomenti, quindi
per $x> 1$ puoi usare la forma $log_(2/5) (x+1) -log_(2/5) (x-1) >=0$ che viene priva di soluzioni reali;
per $x< -1$ puoi usare la forma $log_(2/5) (-x-1) -log_(2/5) (-x+1) >=0$ che viene sempre verificata nel suo dominio, cioè per $x< -1$
Risolto l'arcano.
$log_(2/5) ((x+1)/(x-1))>=0$ ha come dominio $x<-1 vv x> 1$
Se la vuoi spezzare devi ricordare di mantenere positivi gli argomenti, quindi
per $x> 1$ puoi usare la forma $log_(2/5) (x+1) -log_(2/5) (x-1) >=0$ che viene priva di soluzioni reali;
per $x< -1$ puoi usare la forma $log_(2/5) (-x-1) -log_(2/5) (-x+1) >=0$ che viene sempre verificata nel suo dominio, cioè per $x< -1$
Risolto l'arcano.
Grazie infinite a tutti per gli aiuti 
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