Dubbio integrazione per parti...

[kioccolatino90]

ciao a tutti, ho l'integrale $int cos^2(5x+1) dx$ e lo devo calcolare per parti; come $f$ che moltiplica $g$ ho scelto:

$f'(x)= 1$ , $f(x)=x$ e la $g(x)= cos^2(5x+1)$ che derivato è $-5sin(10x+2)$ però mi hanno detto che non è stata una buona scelta quella per la $f$ perchè la funzione integranda può già essere vista come $cos(5x+1)*cos(5x+1)$ e quindi non riesco a capire se sto sbagliando! La mia scelta è buona?

[giammaria2]

No, la scelta non è buona perché poi trovi l'integrale di un prodotto fra $x$ ed un seno e quindi hai complicato le cose. Se proprio DEVI calcolarlo per parti scegli uno dei coseni come fattore differenziale. Mi sembra però un metodo inutilmente complicato; trovo molto più semplice fare

$int cos^2(5x+1)dx=1/2 int [1+cos(10x+2)]dx$

di immediata integrazione.

[kioccolatino90]

ah ok ora si trova, non ci avevo prorprio pensato... Ho un altro integrale che invece non so quale funzione scegliere con fattore finito e differenziale, in effetti io li ho scelti una volta l'uno e una voltra l'altro però non concludo nulla poichè ritorno sempre al punto di partenza indipendentemente dalla scelta che faccio...
l'integrale in questione è:

$int e^x sinx dx$; come devo fare ? io avevo pensato ad usare la formula che $e^(ix)= cosx +isinx$ però però c'è la $i$ quindi non so che altro usare...

[ansawo]

questo lo risolvi integrando per parti due volte. integri la funzione $e^x$ e derivi l'altra. lo fai per due volte e quindi ti ritrovi una somma di funzioni con di nuovo l'integrale di $e^x*sin(x)$...a questo punto hai che quell'integrale è uguale a una somma du f(x) più quell'integrale. lo porti dall'altra parte dell'uguale, dividi per due e il gioco è fatto

[kioccolatino90]

ho capito, intendi come una normalissima equazione!!!! grazie mille ora si trova!!!!!!!!

[kioccolatino90]

chiedo scusa, ma come lo risolvo questo integrale $int x^2 log (x+2) dx$??? io ho fatto:

$f'(x)=x^2$, $f(x)=x^3/3$ e la $g(x)$ come:

$g(x)= log(x+2)$, $g'(x)=1/(x+2)$ e l'integrale lo riscrivo come:

$x^3/3 log(x+2)-intx^3/3 * 1/(x+2) dx =$ $x^3/3 log(x+2)-1/3int x^3/(x+2) dx$ e poi non so come continuare, eppure la scelta del fattore finito e differenziale sembra buona dove sto sbagliando???

[chiaraotta1]

$x^3/(x + 2)= x^2 - 2·x + 4- 8/(x + 2)$

[kioccolatino90]

ma hai usato qualche metodo particolare????? perchè non ci sarei mai riuscito a capirlo neanche dopo ore...

[chiaraotta1]

Divisione di polinomi .....

[kioccolatino90]

ah giusto!!!!grazie mille!!!!

[kioccolatino90]

ragazzi, chiedo scusa ma non riesco a risolvere un altro integrale, sempre con il metodo di integrazione per parti, l'integrale è $int e^(sqrtx) dx$; come al solito ho scelto i fattori finiti e differenziale e mi trovo:

$f'(x)= 1$, $f(x)=x$ e il fattore finito è $g(x)= e^(sqrtx)$, $g'(x)=(e^(sqrtx))/(2sqrtx)$ e dunque ottengo:

$xe^(sqrtx)-int x(e^(sqrtx))/(2sqrtx) dx= $ $xe^(sqrtx)-1/2int x*x^(-1/2)e^(sqrtx) dx= $ $xe^(sqrtx)-1/2int sqrtxe^(sqrtx) dx $.
però ora questo integrale si è complicato ho provato a reintegrare per parti e mi esce una cosa del genere:

$xe^(sqrtx)-1/3sqrt(x^3)e^(sqrtx)+1/6int xe^(sqrtx) dx...$ però non credo che si faccia così, come devo fare???....

[Gi81]

Riparti da capo, e fai la sostituzione $t=sqrtx$