Dubbio integrale fratto

[lepre561]

$int1/(9x^2-6x+5)$

allora io avevo penato di vedere il denominatore come un quadrato aggiungendo e sottraendo 1

$int1/((3x-1)^2+4)$

giungendo alla soluzione

$1/2(arctg((3x-1)/2))$

ma la soluzione non è questa in quanto il primo numero non è $1/2$ ma bensi $1/6$

dove sbaglio

[Obidream]

Se non hai ancora "l'occhio" non dovresti essere così avventato... Diciamo che vuoi un integrale del tipo $1/(u^2+1)$ per cui al denominatore ti conviene porre $3x - 1 = 2t$ per cui l'integrale diventa:

$ 2/3 int 1/((2t)^2+4)dt$

$2/3 int 1/(4t^2+4) dt$

$2/3 int 1/(4(t^2+1))dt$

$1/6 int 1/(t^2+1)dt = 1/6 arctan(t) + c$

ora siccome $3x - 1 = 2t$ allora $t = (3x-1)/2$ per cui sostituendo nell'integrale di partenza:

$1/6 arctan((3x-1)/2) + c$

[rafz123]

Trovo giusta la risoluzione di Obidream, però volevo dire che l'integrale svolto da lepre561 era corretto tranne per un passaggio. L'integrale "immediato", senza procedere per sostituzione (che però in effetti sarebbe meglio, in quanto aiuta a capire come ci si arriva, però solo per un primo uso, sennò la risoluzione diventa lenta), sarebbe questo:
$ int_()^() (f'(x))/([f(x)]²+a²) dx =1/aarctg(f(x)/a)+c $
L'unico errore sta nel fatto che al numeratore non hai ancora la derivata di f(x) ma hai 1, allora moltiplichi e dividi per 3 per ottenerla, così da avere:
$ 1/3int_()^() 3/((3x-1)^2+2^2) $
Che è proprio nella forma scritta prima... Allora l'integrale vale:
$ 1/3[1/2arctg((3x-1)/2)+c]=1/6arctg((3x-1)/2)+c $

[lepre561]

"Obidream":Se non hai ancora "l'occhio" non dovresti essere così avventato... Diciamo che vuoi un integrale del tipo $1/(u^2+1)$ per cui al denominatore ti conviene porre $3x - 1 = 2t$ per cui l'integrale diventa:

$ 2/3 int 1/((2t)^2+4)dt$

$2/3 int 1/(4t^2+4) dt$

$2/3 int 1/(4(t^2+1))dt$

$1/6 int 1/(t^2+1)dt = 1/6 arctan(t) + c$

ora siccome $3x - 1 = 2t$ allora $t = (3x-1)/2$ per cui sostituendo nell'integrale di partenza:

$1/6 arctan((3x-1)/2) + c$

non capisco perchè moltiplichi l'integrale per $2/3$

[Obidream]

"Raff_321":Trovo giusta la risoluzione di Obidream, però volevo dire che l'integrale svolto da lepre561 era corretto tranne per un passaggio. L'integrale "immediato", senza procedere per sostituzione (che però in effetti sarebbe meglio, in quanto aiuta a capire come ci si arriva, però solo per un primo uso, sennò la risoluzione diventa lenta), sarebbe questo:
$ int_()^() (f'(x))/([f(x)]²+a²) dx =1/aarctg(f(x)/a)+c $
L'unico errore sta nel fatto che al numeratore non hai ancora la derivata di f(x) ma hai 1, allora moltiplichi e dividi per 3 per ottenerla, così da avere:
$ 1/3int_()^() 3/((3x-1)^2+2^2) $
Che è proprio nella forma scritta prima... Allora l'integrale vale:
$ 1/3[1/2arctg((3x-1)/2)+c]=1/6arctg((3x-1)/2)+c $

La verità è che non riuscirei mai a ricordare quest'integrale, per cui trovo più facile ricondurmi al caso base, in fondo non sono tanti calcoli, io ho fatto tutti i passaggi ma si tratta di cose immediate che portano via esagerando un paio di minuti.

"lepre561":
non capisco perchè moltiplichi l'integrale per $2/3$

È così che si integra per sostituzione, in pratica:

$int 1/((3x-1)^2+4)dx$

$2t = 3x - 1$

$3x = 2t + 1$

$x = (2t+1)/3$

Ora dalla teoria dell'integrazione per sostituzione dovresti sapere che $dx = g'(t)dt$ dove nel nostro caso $g(t) = (2t+1)/3$, per cui:

$dx = 2/3dt$