Dubbio in disequazione irrazionale

[vally32]

Salve, potreste risolvermi questa disequazione irrazionale?

(x - 3) < √(x^2 + x + 4)

A me viene x≥3 ma il libro dice ∀x∈R.

Grazie in anticipo! :)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Bada bene che

[math]\small \sqrt{x^2 + x + 4} > x-3 \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases}x^2+x+4 \ge 0 \\x-3 \ge 0 \\ x^2+x+4 > (x-3)^2 \end{cases} \, \cup \, \begin{cases} x^2 + x + 4 \ge 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} \; .[/math]

A te i conticini. ;)

[vally32]

Ho risolto il primo sistema, x - 3 ≥ 0 fa x ≥ + 3; x^2 + x + 4 ≥ 0 non ha soluzione poichè ha delta minore di 0; mentre l'ultima mi da come risultato x > + 5/7, e in realta l'equazione di partenza è ha un altro procedimento che io non so ancora fare..
Facendo la rappresentazione grafica di ciò non so come potrebbe venirmi fuori ∀x∈R :(

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Innanzitutto, stai ben attenta che scrivere

[math]f(x) < g(x)[/math]

è la stessa cosa di
scrivere

[math]g(x) > f(x)[/math]

e per convincersi di questo fatto elementare, al di là
di proprietà di equivalenza e corbellerie varie, basta fare un esempietto con un
paio di numeri: se è vero che

[math]2 < 3[/math]

allora è altrettanto vero che

[math]3 > 2[/math]

.
Convinta? :)

Assodato ciò, ricorda che se

[math]n\\[/math]

è pari, allora:

[math]\sqrt[n]{f(x)} > g(x) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \; \; \cup \; \; \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^n \end{cases}\\[/math]

mentre se il verso è contrario, si ha:

[math]\sqrt[n]{f(x)} < g(x) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^n \end{cases} \; . \\[/math]

Nota: rispetto a sopra, qui ti ho riportato lo specchietto definitivo,
semplificato al massimo e che dovrai sempre tenere bene a mente!!

Nel caso in esame, abbiamo

[math]x - 3 < \sqrt[2]{x^2 + x + 4}[/math]

che come sopra
spiegato equivale a scrivere

[math]\sqrt[2]{x^2 + x + 4} > x-3[/math]

, scrittura che ci
permette di scegliere correttamente il caso dallo specchietto riportato (in
tale specchietto, infatti, la radice è presente a primo membro!!)

A questo punto, è evidente che il nostro caso è il primo e quindi a quello
dobbiamo per forza di cose riferirci:

[math]\small \sqrt[2]{x^2+x+4} > x-3 \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} x-3 < 0 \\ x^2+x+4 \ge 0 \end{cases} \; \; \cup \; \; \begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x^2+x+4 > (x-3)^2 \end{cases}[/math]

ossia:

[math]\small \sqrt[2]{x^2+x+4} > x-3 \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} x < 3 \\ \forall\,x \in \mathbb{R} \end{cases} \; \; \cup \; \; \begin{cases} x \ge 3 \\ x > \frac{5}{7} \end{cases}[/math]

da cui segue:

[math]\small \sqrt[2]{x^2+x+4} > x-3 \; \; \Leftrightarrow \; \; x < 3 \, \vee \, x \ge 3 \; \; \Rightarrow \; \; \forall x \in \mathbb{R} \; .[/math]

Ribadisco: rispetto a quanto sopra riportato (che è quanto solitamente si
trova scritto nei libri) qui ho riportato lo schemino più semplificato pos-
sibile, in modo tale da arrivare al medesimo risultato con meno conti.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)



Nota importantissima:

[math]y = x^2 + x + 4[/math]

graficamente rappresenta una
parabola posta esclusivamente nel semipiano positivo delle ordinate; infat-
ti essendo negativo il discriminante non interseca mai l'asse delle ascisse ed
essendo positivo il coefficiente del monomio di secondo grado, la concavità
è rivolta verso l'alto. Da ciò segue che

[math]x^2 + x + 4 \ge 0[/math]

è verificata per

[math]\forall\,x \in \mathbb{R}[/math]

, ossia SEMPRE.