Dubbio - esercizio su una semplice funzione polinomiale
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Volevo risolvere l'esercizio in modo generale.
Trovo la derivata seconda e la impongo uguale a 0: $n(n-1)*x^(n-2)=0$
Ora impongo il passaggio per 0 --> $n(n-1)*0^(n-2)=0$
Noto che l'espressione è valida solo se n>2 (ho notato anche empiricamente che con n=0,1,2 non si arriva a calcoli sensati).
Il problema è questo.
Controllando i grafici delle funzioni $x^4$ e $x^5$ e così via con n=6 e n=7, noto che a seconda che si alternino gli esponenti pari o dispari, il grafico assume rispettivamente un grafico che assomiglia a una parabola (nel senso di tutto rivolto verso l'alto) e un grafico (con n dispari) che a occhio risulta evidente il punto di flesso.
Le domande sono due:
1) y=x^n con n>2 e pari ha veramente questo punto di flesso o è il grafico che inganna?
2) y=x ha punti di flesso? (perché lasciando stare il ragionamento di prima la sua derivata seconda è y''=0 che per ogni ascissa, dunque anche zero, ha ordinata zero.
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee a riguardo?
Volevo risolvere l'esercizio in modo generale.
Trovo la derivata seconda e la impongo uguale a 0: $n(n-1)*x^(n-2)=0$
Ora impongo il passaggio per 0 --> $n(n-1)*0^(n-2)=0$
Noto che l'espressione è valida solo se n>2 (ho notato anche empiricamente che con n=0,1,2 non si arriva a calcoli sensati).
Il problema è questo.
Controllando i grafici delle funzioni $x^4$ e $x^5$ e così via con n=6 e n=7, noto che a seconda che si alternino gli esponenti pari o dispari, il grafico assume rispettivamente un grafico che assomiglia a una parabola (nel senso di tutto rivolto verso l'alto) e un grafico (con n dispari) che a occhio risulta evidente il punto di flesso.
Le domande sono due:
1) y=x^n con n>2 e pari ha veramente questo punto di flesso o è il grafico che inganna?
2) y=x ha punti di flesso? (perché lasciando stare il ragionamento di prima la sua derivata seconda è y''=0 che per ogni ascissa, dunque anche zero, ha ordinata zero.
Qualcuno potrebbe chiarirmi le idee a riguardo?
Risposte
Se ti rifai all'idea intuitiva di flesso come "punto in cui varia la concavità" della funzione, allora evidentemente una funzione del tipo $f(x)=x^{n}$ con $n=2k, \quad k > 1$ non può cambiare concavità in un intorno dell'origine.
Ovviamente l'espressione "cambia segno la derivata seconda" è da intendersi in un opportuno intorno dell'origine, e la condizione $f''(x)=0$ è solamente una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché si abbia un flesso perché potrebbe benissimo capitare che la derivata seconda non cambi di segno in un intorno dell'origine. E questo si ha quando la prima derivata non nulla calcolata in $x=0$ successiva alla seconda è una derivata dispari.
Ovviamente l'espressione "cambia segno la derivata seconda" è da intendersi in un opportuno intorno dell'origine, e la condizione $f''(x)=0$ è solamente una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché si abbia un flesso perché potrebbe benissimo capitare che la derivata seconda non cambi di segno in un intorno dell'origine. E questo si ha quando la prima derivata non nulla calcolata in $x=0$ successiva alla seconda è una derivata dispari.
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