Dubbio esercizio ellisse e iperbole
Salve a tutti, ho un piccolo dubbio su questo esercizio. Il testo recita
“Determina per quali parametri reale positivi h e k l’iperbole $hx^2-ky^2=1$ ha vertici reali in comune con l’ellisse di equazione $x^2/25+y^2/16=1$ e le due curve hanno eccentricità reciproche”
A questo visto che nell’ellisse $a>b$ significa che i vertici staranno sull’asse x, pertanto incrocio l’ellisse con l’asse x.
Ottengo i due punti d’incontro $(5,0) (-5,0)$
Ora vincolo che i punti d’incontro dell’iperbole siano gli stessi che ha l’ellisse.
Imposto un sistema dove incrocio l’iperbole con l’asse x da cui risulta
$hx^2=1$
$x=+-sqrt(1/h)$
A questo punto vincolo che $1/h=5$ e $1/h=-5$ e trovo che $h=+-1/25$
È corretta come impostazione?
Grazie mille
“Determina per quali parametri reale positivi h e k l’iperbole $hx^2-ky^2=1$ ha vertici reali in comune con l’ellisse di equazione $x^2/25+y^2/16=1$ e le due curve hanno eccentricità reciproche”
A questo visto che nell’ellisse $a>b$ significa che i vertici staranno sull’asse x, pertanto incrocio l’ellisse con l’asse x.
Ottengo i due punti d’incontro $(5,0) (-5,0)$
Ora vincolo che i punti d’incontro dell’iperbole siano gli stessi che ha l’ellisse.
Imposto un sistema dove incrocio l’iperbole con l’asse x da cui risulta
$hx^2=1$
$x=+-sqrt(1/h)$
A questo punto vincolo che $1/h=5$ e $1/h=-5$ e trovo che $h=+-1/25$
È corretta come impostazione?
Grazie mille
Risposte
.
Il ragionamento fila fin quasi alla fine, poi quando arrivi a $x=+- sqrt(1/h)$ sostituendo ottieni $+-5= +- sqrt(1/h)$ da cui $25=1/h $ e $h=1/25$.
Nel caso in cui $h= -1/25$ otterresti il vertice non reale dell'iperbole coincidente con quello dell'ellisse.
Nel caso in cui $h= -1/25$ otterresti il vertice non reale dell'iperbole coincidente con quello dell'ellisse.
Per quanto riguarda l’eccentricita’ reciproca non ho ben capito.
Trovo l’eccentricità dell’ellisse sapendo che $a>b$
Pertanto utilizzo la formula $e=c/a$
So che i parametri dell’ellisse sono:
$a=5$
$b=4$
$c=3$
Pertanto $e=3/5$
Quindi devo impostare che l’eccentricità dell’iperbole sia reciproca di quella dell’ellisse, cioè $5/3$
Il mio problema sta qui; devo utilizzare l’iperbole appena trovata oppure devo utilizzare la formula generica?
Perché se devo utilizzare la formula generica so solo che $h>0, k>0$ ma non so quale dei due sia piu’ grande, quindi non so quale formula di eccentricità utilizzare, $e=c/a$ oppure $e=c/b$ da rendere uguale a $5/3$
Trovo l’eccentricità dell’ellisse sapendo che $a>b$
Pertanto utilizzo la formula $e=c/a$
So che i parametri dell’ellisse sono:
$a=5$
$b=4$
$c=3$
Pertanto $e=3/5$
Quindi devo impostare che l’eccentricità dell’iperbole sia reciproca di quella dell’ellisse, cioè $5/3$
Il mio problema sta qui; devo utilizzare l’iperbole appena trovata oppure devo utilizzare la formula generica?
Perché se devo utilizzare la formula generica so solo che $h>0, k>0$ ma non so quale dei due sia piu’ grande, quindi non so quale formula di eccentricità utilizzare, $e=c/a$ oppure $e=c/b$ da rendere uguale a $5/3$
"@melia":
Il ragionamento fila fin quasi alla fine, poi quando arrivi a $x=+- sqrt(1/h)$ sostituendo ottieni $+-5= +- sqrt(1/h)$ da cui $25=1/h $ e $h=1/25$.
Nel caso in cui $h= -1/25$ otterresti il vertice non reale dell'iperbole coincidente con quello dell'ellisse.
Hai ragione, non ho elevato il $-5$ alla seconda. Grazie
"sellacollesella":
ed eccentricità \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}\).
I
Pardon l'ignoranza ma non riesco a capire da dove hai trovato fuori questa eccentricità, mi sembra così complesso
.
"sellacollesella":
che è una iperbole con i fuochi sull'asse x, quindi di eccentricità \(e=\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}\).
ho rivisto tutto con calma e mi è piu chiaro ma comunque ora dovrei impostare
\(e=\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}=5/3\)
ma come la risolvo in due variabili?
.
"sellacollesella":
Il primo vincolo è \(\sqrt{1/h}=5\).
Il secondo vincolo è \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}=5/3\).
Due equazioni in due incognite.
Capisco le formule ma mi sfugge qualcosa nel problema;
il testo dice di trovare i parametri “h” e “k” per cui:
le due curve hanno stessi punti d’incontro con asse x, perfetto $h=1/25$ e $k=0$
le due curve hanno eccentricità reciproca.
Pensando di risolverle separatamente, ecco il senso della mia domanda;come poter risolvere una radice se sia “h” che “k” sono incognite?
Perché prendo come riferimento da inserire nella formula il valore di “h” che risponde alla risposta della prima domanda?
Allora dovrei prendere come riferimento da inserire nella formula di eccentricità anche il valore di $k=0$ ma non posso. Perché se sono due domande distinte devo prendere il valore di $h$ trovato nel primo punto?
Se risolvo l’eccentricità con la formula da te impostata trovo due valori di “h” e “k” , che però non mi permettono più di rispondere alla prima domanda, perché nel primo caso doveva essere $k=0$, se qui trovo un k diverso vuol dire che questo parametro mi consente di rispondere alla seconda domanda ma non più alla prima.
.
"sellacollesella":
[quote="Marco1005"]le due curve hanno stessi punti d’incontro con asse x, perfetto $h=1/25$ e $k=0$
Bada bene che i vertici dell'iperbole sono \(\left(\pm\sqrt{1/h},0\right)\) e i vertici dell'ellisse sono \((\pm 5,0)\), quindi affinché coincidano è sufficiente imporre \(\sqrt{1/h}=5\), da cui \(h/25\), mentre \(k\) è libera di assumere tutti i valori che vuole purché rispettosi delle imposizioni del problema, ossia \(k>0\). Il secondo vincolo, quello circa le eccentricità delle due coniche, permette di fissare anche il valore di \(k\), in quanto ora \(h\) è nota.
[/quote]Poi però se trovo un qualsiasi $k>0$ questo risultato non va piu bene per la risposta al primo problema.
Non capisco se i parametri devo trovarli in modo che rispettino sia la prima domanda sia la seconda oppure sono indipendenti
.
"sellacollesella":
[quote="Marco1005"]Poi però se trovo un qualsiasi $k>0$ questo risultato non va piu bene per la risposta al primo problema.
Non è vero, in quanto fissato \(h=1/25\), i vertici delle due coniche saranno \((\pm 5,0)\) per qualsiasi \(k>0\). Probabilmente ti stai confondendo sul fatto che l'ordinata dei vertici sia \(y_v=0\), ma non c'entra con \(k\).
[/quote]ma non avevo impostato che $h=1/25$ e $k=0$?
però mi sa che è come dici tu, era solo per trovare il punto d'incontro che avevo fissato $y=0$ e di conseguenza $k$ spariva.
hai ragione, per qualsiasi k quando la y è zero i vertici sono sempre gli stessi. Che pirla
.
"sellacollesella":
[quote="Marco1005"]ma come la risolvo in due variabili?
Il primo vincolo è \(\sqrt{1/h}=5\).
Il secondo vincolo è \(\frac{\sqrt{1/h\,+\,1/k}}{\sqrt{1/h}}=5/3\).
Due equazioni in due incognite.[/quote]
Sella scusa ritorno perchè non mi è chiaro:
$1/h=25$ ok
riscrivo che
$e=c/a$
da cui $c=sqrt(a^2+b^2)$
allora imposto
$c=(sqrt(25+b^2))/5=5/3$
$sqrt(25+b^2)=25/3$
$25+b^2=625/9$
$b^2=625/9-25$
$b^2=(625-225)/9$
$b=20/3$
Posso procedere così?
non mi trovo molto a trasformare anche $b^2$ come $1/k$ , cioè non mi è chiarissimo.
All'inizio avevo messo sotto radice direttamente $1/25$ al posto di $1/h$ ma poi ho pensato che
se i vertici sono gli stessi, vuol dire che il semiasse positivo è lo stesso, quindi le coordinate dei vertici sono le stesse, e per definizione la distanza tra vertice e centro è proprio il semiasse x; pertanto
trovando la coordinata x dei vertici, trovo il parametro "a" sia di ellisse sia di iperbole.
il parametro $a=5$
sapendo che $h=1/25$, riscrivo come $x^2*1/25$ la prima parte dell'iperbole,
pertanto riscrivo così $x^2/25$ da li capisco che $a=5$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo