Dubbio equazione differenziale
Ciao a tutti, questo è il testo dell'esercizio:
\(\displaystyle y'= \frac{y^3}{1+x^2} \)
Ho provato a risolverla così:
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{1+x^2} \)
\(\displaystyle dy=\frac{y^3}{1+x^2}dx \)
\(\displaystyle \frac{dy}{y^3} = \frac{1}{1+x^2}dx \) Divido tutto per y^3
\(\displaystyle \int\frac{1}{y^3}dy = \int\frac{1}{1+x^2}dx \) Li metto sotto il segno di integrale
\(\displaystyle \int ? = tan^-1 \)
Ecco da qui praticamente non so come continuare, perchè il risultato dell'integrale viene diverso dal risultato
del libro ovvero:
\(\displaystyle y=+-\frac{1}{\sqrt{c-2arctg(x)}} \bigvee y=0 \)
Grazie per l'aiuto!
\(\displaystyle y'= \frac{y^3}{1+x^2} \)
Ho provato a risolverla così:
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{1+x^2} \)
\(\displaystyle dy=\frac{y^3}{1+x^2}dx \)
\(\displaystyle \frac{dy}{y^3} = \frac{1}{1+x^2}dx \) Divido tutto per y^3
\(\displaystyle \int\frac{1}{y^3}dy = \int\frac{1}{1+x^2}dx \) Li metto sotto il segno di integrale
\(\displaystyle \int ? = tan^-1 \)
Ecco da qui praticamente non so come continuare, perchè il risultato dell'integrale viene diverso dal risultato
del libro ovvero:
\(\displaystyle y=+-\frac{1}{\sqrt{c-2arctg(x)}} \bigvee y=0 \)
Grazie per l'aiuto!
Risposte
E perché no?
$int1/y^3dy=int1/(1+x^2)dx$
$-1/(2y^2)=arctan(x)+c$
$int1/y^3dy=int1/(1+x^2)dx$
$-1/(2y^2)=arctan(x)+c$
"anto_zoolander":
E perché no?
$int1/y^3dy=int1/(1+x^2)dx$
$-2/y^2=arctan(x)+c$
Praticamente dovevo continuare.. però mi diresti come faccio ad arrivare al risultato del libro? Ho delle carenze in calcoli algebrici che sto cercando di risanare..
E poi perchè anche y=0?
Grazie!
Scusa il ritardo.
Intanto l'equazione differenziale è:
$y'=y^3/(1+x^2)$
In particolare è una a variabili separabili. Dobbiamo liberarci del termine $y^3$ ma per farlo, dobbiamo dividere, e dunque supporre, almeno momentaneamente, che sia $yne0$
$1/y^3dy=1/(1+x^2)dx$
integriamo adesso ambo i membri.
$int1/y^3dy=int1/(1+x^2)dx => 1/(y^2)=-2arctan(x)-2c$
Ora ti faccio notare che il parametro $-2c$ arbitrario, posso manipolarlo come mi pare. Dunque essendo arbitrario, allora anche $-2c=k$ lo è. Infatti se scelgo $c=-1/2$ per ottenere lo stesso valore, basta scegliere $k=1$
$1/(k-2arctan(x))$
Ora facciamo il reciproco, imponendo che sia $xnetan(k/2)$
$y^2=1/(k-2arctan(x))$
In particolare deve essere $1/(k-2arctan(x))>0$
ovvero $k-2arctan(x)>0$
nota che ${(-pi<2arctan(x)
Se $kgeqpi$ siamo a posto poichè certamente l'altra parte è inferiore.
Infatti $-pi/2
$lim_(x->+infty)1/sqrt(pi-2arctan(x))=[1/sqrt(pi-pi^-)]=1/(0^+)=+infty$
Se $-pi<2arctan(x)
In particolare deve essere $k> -pi$ requisito fondamentale affinché l'equazione abbia senso.
Stabilito questo, poiché a sinistra abbiamo un quadrato, possiamo estrarre la radice.
$y=pm1/sqrt(k-2arctan(x))$
Nota che valgono tutte le condizioni precedentemente fatte. La soluzione $y=0$ è banale poiché sarebbe:
$f(x)=0=>f'(x)=0$ e otteniamo $0=0/(1+x^2)$ che è vera $forallx inRR$
Quindi il caso $y=0$ è stato trattato a parte, infine otteniamo questo.
$f(x)=pm1/(sqrt(k-2arctan(x))),x -pi/2$
$f(x)=0, forallx inRR$
Naturalmente adesso considerando $y=0$ non significa che prima abbiamo tenuto conto del caso in cui la funzione faccia zero dopo aver diviso.
Sono due equazioni trattate in maniera diversa. Ovvero se $y$ è banalmente l'asse delle ascisse, allora l'equazione è sempre soddisfatta e inoltre questo accade ancora prima di dividere, quindi non comporta alcun problema.
Se invece $yne0$ allora la soluzione è l'altra.
Intanto l'equazione differenziale è:
$y'=y^3/(1+x^2)$
In particolare è una a variabili separabili. Dobbiamo liberarci del termine $y^3$ ma per farlo, dobbiamo dividere, e dunque supporre, almeno momentaneamente, che sia $yne0$
$1/y^3dy=1/(1+x^2)dx$
integriamo adesso ambo i membri.
$int1/y^3dy=int1/(1+x^2)dx => 1/(y^2)=-2arctan(x)-2c$
Ora ti faccio notare che il parametro $-2c$ arbitrario, posso manipolarlo come mi pare. Dunque essendo arbitrario, allora anche $-2c=k$ lo è. Infatti se scelgo $c=-1/2$ per ottenere lo stesso valore, basta scegliere $k=1$
$1/(k-2arctan(x))$
Ora facciamo il reciproco, imponendo che sia $xnetan(k/2)$
$y^2=1/(k-2arctan(x))$
In particolare deve essere $1/(k-2arctan(x))>0$
ovvero $k-2arctan(x)>0$
nota che ${(-pi<2arctan(x)
Se $kgeqpi$ siamo a posto poichè certamente l'altra parte è inferiore.
Infatti $-pi/2
$lim_(x->+infty)1/sqrt(pi-2arctan(x))=[1/sqrt(pi-pi^-)]=1/(0^+)=+infty$
Se $-pi<2arctan(x)
In particolare deve essere $k> -pi$ requisito fondamentale affinché l'equazione abbia senso.
Stabilito questo, poiché a sinistra abbiamo un quadrato, possiamo estrarre la radice.
$y=pm1/sqrt(k-2arctan(x))$
Nota che valgono tutte le condizioni precedentemente fatte. La soluzione $y=0$ è banale poiché sarebbe:
$f(x)=0=>f'(x)=0$ e otteniamo $0=0/(1+x^2)$ che è vera $forallx inRR$
Quindi il caso $y=0$ è stato trattato a parte, infine otteniamo questo.
$f(x)=pm1/(sqrt(k-2arctan(x))),x
$f(x)=0, forallx inRR$
Naturalmente adesso considerando $y=0$ non significa che prima abbiamo tenuto conto del caso in cui la funzione faccia zero dopo aver diviso.
Sono due equazioni trattate in maniera diversa. Ovvero se $y$ è banalmente l'asse delle ascisse, allora l'equazione è sempre soddisfatta e inoltre questo accade ancora prima di dividere, quindi non comporta alcun problema.
Se invece $yne0$ allora la soluzione è l'altra.
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