Dubbio derivate composte
Qual è la derivata della funzione:
$ y=arccos (sqrt((1+cosx)/2) ) $
So che la regola generale per le derivate composte è:
$f(g(x))=f'(gx)*g'(x)$ ma non riesco a capire come applicarla in questo caso, potreste quindi spiegarmi i passaggi?
Io procederei così:
$ - 1/sqrt(1-sqrt((1+cosx)/2)) * (1)/(2*sqrt((1+cosx)/2)) * ((0+senx)*(2)-(1+cosx)(0))/2^2 $ ma immgino sia sbagliato....
Grazie
$ y=arccos (sqrt((1+cosx)/2) ) $
So che la regola generale per le derivate composte è:
$f(g(x))=f'(gx)*g'(x)$ ma non riesco a capire come applicarla in questo caso, potreste quindi spiegarmi i passaggi?
Io procederei così:
$ - 1/sqrt(1-sqrt((1+cosx)/2)) * (1)/(2*sqrt((1+cosx)/2)) * ((0+senx)*(2)-(1+cosx)(0))/2^2 $ ma immgino sia sbagliato....
Grazie
Risposte
La derivata della funzione composta di \(f\) e \(g\), \(h=f\circ g\) nel punto \(x\) è, come hai detto tu, \(h'=(f'\circ g) \cdot g'\) (con funzioni considerate belle abbastanza).
Ora, \(l:x\mapsto\arccos{\sqrt{(1+\cos x)/2}}\) è la composta di \({\arccos}\) e \(g:x\mapsto\sqrt{(1+\cos{x})/2}\), che a sua volta è la composta di \(h:x\mapsto x^{1/2}\) e \(i:x\mapsto (1+\cos{x})/2\). Quindi \(l'(x)=\arccos'\left(g(x)\right) g'(x)\) ma \(g'(x)=h'(i(x))i'(x)\). Condizioni a parte da verificare per rito, sembrano essere solo calcoli.
p.s. Hai appena scoperto la derivata della composta di \(n\) funzioni \(f_1,\dots,f_n\), \(f_1\circ\dots\circ f_n := f_{1,\dots,n}\) (usando la notazione di wikipedia): \({f'}_{1,\dots n}(x)=\prod_{i=1}^{n}f_i({f'}_{i+1,\dots,n}(x))\). Per \(n=3\) ad esempio hai \({f'}_{1,\dots,3}(x)=\prod_{i=1}^{3}{f'}_i(f_{i+1,\dots,3}(x))={f'}_1(f_2(f_3(x)))\cdot {f'}_2(f_3(x)){f'}_3(x)\), che altro non è che una generalizzazione del tuo esercizio.
Ora, \(l:x\mapsto\arccos{\sqrt{(1+\cos x)/2}}\) è la composta di \({\arccos}\) e \(g:x\mapsto\sqrt{(1+\cos{x})/2}\), che a sua volta è la composta di \(h:x\mapsto x^{1/2}\) e \(i:x\mapsto (1+\cos{x})/2\). Quindi \(l'(x)=\arccos'\left(g(x)\right) g'(x)\) ma \(g'(x)=h'(i(x))i'(x)\). Condizioni a parte da verificare per rito, sembrano essere solo calcoli.
p.s. Hai appena scoperto la derivata della composta di \(n\) funzioni \(f_1,\dots,f_n\), \(f_1\circ\dots\circ f_n := f_{1,\dots,n}\) (usando la notazione di wikipedia): \({f'}_{1,\dots n}(x)=\prod_{i=1}^{n}f_i({f'}_{i+1,\dots,n}(x))\). Per \(n=3\) ad esempio hai \({f'}_{1,\dots,3}(x)=\prod_{i=1}^{3}{f'}_i(f_{i+1,\dots,3}(x))={f'}_1(f_2(f_3(x)))\cdot {f'}_2(f_3(x)){f'}_3(x)\), che altro non è che una generalizzazione del tuo esercizio.
Ciao! E' la prima volta che rispondo, quindi spero di non fare errori nella scrittura delle formule! 
Comunque il tuo ragionamento è esatto, ma hai fatto un errore...
La derivata della funzione $arccos(x)=-1/sqrt(1-x^2)$ .
Quindi nel tuo caso il primo passaggio sarà:
$-1/sqrt(1-(sqrt((1+cos(x))/2))^2)$ quindi: $-1/sqrt(1-((1+cos(x))/2))$ .
A questo punto, si continua moltiplicanto la derivata della funzione che hai chiamato $g(x)$ :
$-1/sqrt(1-((1+cos(x))/2))$ $*1/(2*sqrt((1+cos(x))/2))$ $*(-sen(x))/2$ .
Non resta che svolgere i calcoli:
$(sen(x))/(4*sqrt((1-((1+cos(x))/2))*((1+cos(x))/2)))$
$(sen(x))/(4*sqrt ( ( 1/2 - (cos(x))/2)* (1/2 + (cos(x))/2))$
$(sen(x))/(4*sqrt( 1/4 - (cos(x))^2/4 )$
$(sen(x))/(4*sqrt( 1/4*(1- (cos(x))^2))$
Risultato finale:
$(sen(x))/(2*sqrt(1- (cos(x))^2))$
Spero di esser stata d'aiuto! Ciao!!
Comunque il tuo ragionamento è esatto, ma hai fatto un errore...
La derivata della funzione $arccos(x)=-1/sqrt(1-x^2)$ .
Quindi nel tuo caso il primo passaggio sarà:
$-1/sqrt(1-(sqrt((1+cos(x))/2))^2)$ quindi: $-1/sqrt(1-((1+cos(x))/2))$ .
A questo punto, si continua moltiplicanto la derivata della funzione che hai chiamato $g(x)$ :
$-1/sqrt(1-((1+cos(x))/2))$ $*1/(2*sqrt((1+cos(x))/2))$ $*(-sen(x))/2$ .
Non resta che svolgere i calcoli:
$(sen(x))/(4*sqrt((1-((1+cos(x))/2))*((1+cos(x))/2)))$
$(sen(x))/(4*sqrt ( ( 1/2 - (cos(x))/2)* (1/2 + (cos(x))/2))$
$(sen(x))/(4*sqrt( 1/4 - (cos(x))^2/4 )$
$(sen(x))/(4*sqrt( 1/4*(1- (cos(x))^2))$
Risultato finale:
$(sen(x))/(2*sqrt(1- (cos(x))^2))$
Spero di esser stata d'aiuto! Ciao!!
Mi permetto di aggiungere solo una nota relativo all'aspetto "pratico" del calcolo.
Quando si ha una funzione composta relativamente complicata o lunga da derivare come questa che possiamo "sintetizzare" così $f(g(h(x)))$, è utile a mio parere "spezzare" il tutto in questo modo
$f(g(h(x)))=arccos(sqrt((1+cos(x))/2))$
$y=h(x)=(1+cos(x))/2$
$z=g(y)=sqrt(y)$
$w=f(z)=arccos(z)$
Si calcolano le relative derivate ...
$w'=-1/sqrt(1-z^2)*z'$
$z'=1/(2sqrt(y))*y'$
$y'=-1/2sin(x)*x'$
Alla fine si "rimette insieme" il tutto ...
Cordialmente, Alex
Quando si ha una funzione composta relativamente complicata o lunga da derivare come questa che possiamo "sintetizzare" così $f(g(h(x)))$, è utile a mio parere "spezzare" il tutto in questo modo
$f(g(h(x)))=arccos(sqrt((1+cos(x))/2))$
$y=h(x)=(1+cos(x))/2$
$z=g(y)=sqrt(y)$
$w=f(z)=arccos(z)$
Si calcolano le relative derivate ...
$w'=-1/sqrt(1-z^2)*z'$
$z'=1/(2sqrt(y))*y'$
$y'=-1/2sin(x)*x'$
Alla fine si "rimette insieme" il tutto ...
Cordialmente, Alex
Io veramente, ricordandomi che
$cos(x/2)=\sqrt(\frac{1+cos(x)}{2})$
avrei scritto
$y=arccos(cos(x/2))=x/2$
È troppo facile, per me c'è qualcosa sotto che a fine giornata lavorativa non riesco a cogliere.
Comunque mi piace molto il metodo di @axpgn di dividere e derivare pezzo per pezzo, io facevo tutto insieme e gli errori di calcolo si sprecavano...
$cos(x/2)=\sqrt(\frac{1+cos(x)}{2})$
avrei scritto
$y=arccos(cos(x/2))=x/2$
È troppo facile, per me c'è qualcosa sotto che a fine giornata lavorativa non riesco a cogliere.
Comunque mi piace molto il metodo di @axpgn di dividere e derivare pezzo per pezzo, io facevo tutto insieme e gli errori di calcolo si sprecavano...
Se confronti il tuo risultato con quello di Pampy puoi notare che sono equivalenti ovvero la derivata è $1/2$ 
Vero, avete ragionee! Io ho dimenticato di fare l'ultimo passaggio:
dato che $1-cos^2(x)=sen^2(x)$ sotto radice mi resta il seno al quadrato che si semplifica. Dopodichè semplifico il seno al numeratore con quello al denominatore e anche a me viene $1/2$.
Non ci avevo pensato al metodo di Zero87, grazie per l'illuminazione
dato che $1-cos^2(x)=sen^2(x)$ sotto radice mi resta il seno al quadrato che si semplifica. Dopodichè semplifico il seno al numeratore con quello al denominatore e anche a me viene $1/2$.
Non ci avevo pensato al metodo di Zero87, grazie per l'illuminazione
Siccome Zero87 è troppo "avanti" propone soluzioni troppo "avanti" che però non vanno bene in quanto è un esercizio sul calcolo delle derivate composte e il suo metodo lo ha trasformato in uno banale ... 
Trooooppo avanti ...
Cordialmente, Alex
Trooooppo avanti ...
Cordialmente, Alex
Epperò quella derivata è $ 1/2 $ solo quando $ sin(x)>0 $; quando $sin(x)<0 $ è $-1/2 $ e se $ sin(x)=0 $ non è definita.
Ciao
Ciao
Che, se vogliamo, è quello che gli ho fatto notare nell'altro suo thread ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":Bisogna volerlo molto intensamente
...se vogliamo...
Mi paiono 'dimenticanze' decisamente diverse.
Ciao
Ciò che voglio dire è che oltre a determinare l'espressione della derivata si deve porre attenzione anche ai "dettagli", in questo senso le osservazioni si assomigliano ...
Peraltro mi pare che il risultato sia ancora diverso: sia la funzione che la derivata sono periodiche o mi sbaglio?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":Non vedo incongruenze nel risultato che ho proposto: la periodicità della derivata è assicurata dalla presenza del segno di $ sin x $ nelle condizioni. Se ritieni indispensabile evidenziare i valori di $ x $, basta risolvere $ sin x>0; sin x<0; sinx=0 $.
mi pare che il risultato sia ancora diverso...
Fra l'altro la periodicità della funzione era un chiaro segnale dell'impossibilità di una derivata sempre positiva. Invece me ne sono accorto osservando che la funzione arcoseno, essendo limitata, non può avere una derivata uguale ad $ 1/2 $ su tutto $ RR $.
Ciao
"orsoulx":
Se ritieni indispensabile evidenziare i valori di $ x $, ...
Sì
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Siccome Zero87 è troppo "avanti" propone soluzioni troppo "avanti" che però non vanno bene in quanto è un esercizio sul calcolo delle derivate composte e il suo metodo lo ha trasformato in uno banale ...
Trooooppo avanti ...
Cordialmente, Alex
Infatti questo lo sospettavo e l'ho detto quando ormai si era detto tanto sull'intervento; comunque non ci avevo fatto caso che i due risultati fossero uguali, ma a quest'ora qui sono fuso.
Grazie a tutti!
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