Dubbio della risoluzione di un problema

[MercuryMike]

Stavo aiutando un mio amico a risolvere un problema di geometria, ma non sono convintissimo che il mio svolgimento sia corretto. Il problema diceva:
Disegnata una circonferenza, traccia la corda AB e una corda BC. Prendendo il punto medio M dell'arco AB e il punto medio N dell'arco BC traccia la corda MN che interseca le corde AB e BC nei corrispettivi punti F ed E. Dimostra che il triangolo ottenuto è isoscele.
Io volevo dimostrare che i due lati obliqui del triangolo sono effettivamente congruenti. Per farlo ho scelto il teorema del fascio di rette parallele. Ho preso in considerazione le rette sulle quali poggiano le corda AB BC e MN ottenendo le rette r, s e t. Quindi ho tracciato 2 rette parallele alla retta r, una passante per il punto E e una passante per il punto C. Quindi ho considerato i segmenti EF e EB congruenti.

[Geppo2]

"MercuryMike":
Quindi ho considerato i segmenti EF e EB congruenti.

Ho ottenuto un risultato diverso.
$B\hatMN=C\hatBN$ (insistono su archi congruenti).
$M\hatBA=M\hatNB$ (insistono su archi congruenti).
$F\hatEB=M\hatNB + C\hatBN$ (angolo esterno di EBN).
$E\hatFB=B\hatMN + M\hatBA$ (angolo esterno di MBF), da cui $F\hatEB=E\hatFB$.
I segmenti congruenti risultano quindi BF e BE.

[MercuryMike]

Forse ho sbagliato io scrivendo, comunque si, i segmenti erano quelli. Quindi è considerabile corretto?