Dubbio con un limite

[mickey1]

$lim_(x->1)(1/(1 - x) - 3/(1 - x^3))$

Come posso scomporre?

[_Tipper]

Minimo comun denominatore, fai le somme, e guardi cosa succede...

[fabiola5]

ok,come dice tipper fai il minimo comune denominatore....basta osservare che al secondo denominatore hai una differenza tra due cubi, quindi se hai difficoltà scomponila;poi fai i conti e al numeratore ottieni un polinomio di secondo grado; scomponi anche quello e vedi che il gioco è fatto

[mickey1]

Sì, stranamente prima non stavo pensando di fare semplicemente due conti.

23/1: Calcoli errati! grazie a tutti per la correzione a fondo pagina!!

[fransis2]

"mickey":Sì, stranamente prima non stavo pensando di fare semplicemente due conti.

$(1 + x + x^2 - 3)/((1 - x)(1 + x + x^2)) = (x^2 + x - 2)/(- x^3 + 1)$ e dal rapporto fra i termini di grado massimo $x^2/-x^3 = - 1/x$

e quindi $lim_(x->1)(-1/x) = -1$

sbaglio? grazie in ogni caso per lo spunto.

mi sa che hai sbagliato: il rapporto tra i termini di grado massimo lo puoi applicare quando x tende a +- infinito. Ti faccio un controesempio: $lim_(x->-1)((3x^3+3x^2)/(x^2+3x+2))=lim_(x->-1)((x+1)3x^2/((x+1)(x+2)))=lim_(x->-1)(3x^2/(x+2))=3/1=3$ mentre $lim_(x->-1)(3x^3/x^2)=lim(x->1)(x)=-1$. Nel tuo caso $(1 + x + x^2 - 3)/((1 - x)(1 + x + x^2)) =(1-x)(-x-2)/((1 - x)(1 + x + x^2)) =(-x-2)/(1+x+x^2)$ e quindi il tuo limite richiesto è effettivamente -1 ma è una coincidenza. Quindi in generale se hai il rapporto tra 2 polinomi e mettiamo che ti chieda il limite per x che tende ad $a$ finito, fai così: 1) se sotituendo $a$ al polinomio al numeratore esso non si annulla mentre sotituendo $a$ al polinomio del denominatore esso si annulla allora il limite è +- infinito (ti studi ili segno),2) se invece entrambi i polinomi non si annullano sostituendo ad essi il valore $a$ il limite è uguale al rapporto $(p(a))/(q(a))$ dove $p$ e $q$ sono i polinomi rispettivamente al numeratore e al denominatore.3) Se invece entrambi si annullano in $a$ dividi numeratore e denominatore (la sai fare la divisione tra polinomi?) per $(x-a)$; se il polinomio al numeratore che hai ottenuto non si annulla in $a$ hai finito sennò continui a dividere per $x-a$ fino a quando al numeratore non ottieni un polinomio che non si annulla in $a$. A questo punto la casistica si riduce al coso 1) oppure al caso 2).
DOMANDA: e se i polinomi si annullano in $a$ ma non sono divisibili per $x-a$ (cioè se nella divisione si ottiene un resto)?
SORPESA: i polinomi saranno sempre divisibili per $x-a$ se si annullano in $a$ per un teorema chiamato teorema di Ruffini, quindi questo algoritmo consente sempre di trovare il limite per x che tende ad $a$ finito del rapporto fra 2 polinomi. Se invece x tende a infinito fai il limite del rapporto dei termini di grado massimo come dici tu...

[vict85]

"mickey":Sì, stranamente prima non stavo pensando di fare semplicemente due conti.

$(1 + x + x^2 - 3)/((1 - x)(1 + x + x^2)) = (x^2 + x - 2)/(- x^3 + 1)$ e dal rapporto fra i termini di grado massimo $x^2/-x^3 = - 1/x$

e quindi $lim_(x->1)(-1/x) = -1$

sbaglio? grazie in ogni caso per lo spunto.

$\frac{-1 +- \sqrt(1 + 8)}{2} -> \frac{-1 +- \sqrt(9)}{2} -> \frac{-1 +- 3}{2}$

$x^2 + x -2 = (x + 2)(x - 1)$

Quindi $\frac{(x+2)(x-1)}{-(x-1)(x^2 + x + 1)} -> \frac{(x+2)}{-(x^2 + x + 1)} -> -\frac{(x+2)}{(x^2 + x + 1)}$

Ora è ridotto ai minimi termini (non ho controllato gli altri passaggi).

$lim_(x -> 1) -\frac{(x+2)}{(x^2 + x + 1)} = -\frac{(3)}{(3)} = -1$

[mickey1]

Tutto chiarissimo... evidentemente non c'ero molto con la testa quando ci ho pensato, dato che a momenti ero convinto che fosse un limite per $x->oo$..

[mtx4]

dubbio su questo

$lim x->0$ $x^sinx$
non so come procedere, il libro suggerisce de l'hopital ma....

[Sk_Anonymous]

"mtx4":dubbio su questo

$lim x->0$ $x^sinx$
non so come procedere, il libro suggerisce de l'hopital ma....

...scritto in questo modo non verifica le ipotesi di De L'Hopital. Inoltre il limite si può calcolare solo per $x->0^+$ perché a $0^-$ la funzione non è definita.
Devi trasformare $x^sinx=e^(ln(x^sinx))=e^(sinx (lnx))$ adesso devi calcolare il limite dell'esponente $lim_(x->0^+)sinx*lnx=lim_(x->0^+) (lnx)/(1/sinx)$ e questo limite verifica le ipotesi di De L'Hopital.
Detto $k$ il risultato trovato, allora $lim_(x->0^+)x^sinx=e^k$

[mtx4]

ottimo grazie
non ci avevo pensato