Dubbio (49647)

[Lady Vampire]

1.Cosa devo fare se ho scritto stabilire se
f(x) è continua nell'intervallo [1;4]

2.Se avessi un problema del genere come lo risolvo:
Un falegname deve ottenere da un cilindro di legno d'altezza h e raggio r un parallelepipedo con il volume più grande possibile.

Aggiunto 28 minuti più tardi:

Grazie !:)

[ciampax]

Allora, per stabilire se una funzione risulta continua su un intervallo chiuso e limitato della forma

[math][a,b][/math]

basta verificare che il dominio della funzione stessa contenga questo intervallo. Ad esempio, se consideri la funzione

[math]f(x)=\frac{1}{x}[/math]

risulta continua su

[math][1,5][/math]

mentre non lo è su

[math][-1,1][/math]

in quanto il punto

[math]x=0[/math]

non appartiene al dominio della funzione stessa.

Il secondo è un problema di massimo: quello che va capito è come fare a tirare fuori un parallelepipedo da un cilindro. Per prima cosa rifletti su questo: la base del parallelepipedo deve stare dentro al cerchio di base del cilindro, per cui se chiami

[math]x,\ y[/math]

le dimensioni di base del parallelepipedo otterrai la seguente relazione tra esse e il raggio di base

[math]x^2+y^2=4r^2[/math]

da cui segue che

[math]y=\sqrt{4r^2-x^2}[/math]

Il volume del parallelepipedo misura allora

[math]V(x)=hx\sqrt{4r^2-x^2}[/math]

in quanto come altezza dovrai prendere semplicemente quella di tutto il cilindro. Dervando ottieni

[math]V'(x)=h\sqrt{4r^2-x^2}-\frac{hx^2}{\sqrt{4r^2-x^2}}=\frac{h(4r^2-2x^2)}{\sqrt{4r^2-x^2}}[/math]

Imponendo che

[math]V'(x)=0[/math]

si trova

[math]4r^2-2x^2=0\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{2}[/math]

La soluzione negativa va scartata in quanto

[math]x[/math]

rappresenta una misura, e quindi ottieni il volume massimo per

[math]x=r\sqrt{2}[/math]

. Ma allora si ha pure

[math]y=\sqrt{4r^2-2r^2}=r\sqrt{2}=x[/math]

per cui il parallelepipedo con volume massimo è quello a base quadrata (con lato pari a

[math]\ell=r\sqrt{2}[/math]

.