Dubbi vari sulla retta in forma ax+by+c=0
Il prof - "Come vi ho detto, non usate *mai* la retta in forma esplicita, perché in quel modo escludete le rette del tipo x=k".
Questo ho potuto verificarlo con un esercizio, e sono d'accordo. Queste sono le difficoltà:
1) Come visualizzarla "in testa", e come disegnarla? Per entrambi ho bisogno di trasformarla in forma esplicita, di riconoscere un $m$, un $n$ e allora ce l'ho, l'ho visualizzata. C'è un metodo per visualizzare rapidamente una retta in forma implicita?
2) Com'è il fascio di rette implicito?
consigli, suggerimenti... voi che equazione usate?
Grazie
Questo ho potuto verificarlo con un esercizio, e sono d'accordo. Queste sono le difficoltà:
1) Come visualizzarla "in testa", e come disegnarla? Per entrambi ho bisogno di trasformarla in forma esplicita, di riconoscere un $m$, un $n$ e allora ce l'ho, l'ho visualizzata. C'è un metodo per visualizzare rapidamente una retta in forma implicita?
2) Com'è il fascio di rette implicito?
consigli, suggerimenti... voi che equazione usate?
Grazie
Risposte
Quella che vogliamo, o meglio quella più comoda nell'esercizio, facendo però attenzione che: se si usa la forma esplicita bisogna poi trattare a parte acneh il caso x=k.
il fascio di rette implicito per $P(x_0,y_0)$:
-prendi due rette per $P$ : la scelta sta a te, prendi quella che ti è più comoda per risolvere l'esercizio.. tipicamente se non sai che scegliere puoi prendere $r_1: x-x_0=0$ e $r_2: y-y_0=0$ che passano entrambe per $P$
- il fascio è (al variare di $l,m in RR$ non entrambi nulli) $F: l(x-x_0)+m(y-y_0)=0$ (cioè per capirci, la somma dei polinomi delle due rette, con i coefficienti $l$ e $m$)
I parametri che troverai saranno determinati unicamente a meno di un fattore di proporzionalità: cioè se va bene $l=1$,$m=2$ andranno bene anche $l=3$,$m=6$ visto che se sostituisci nell'equazione poi puoi sempre dividere per 3 e riottenere l'altra eq..)
Comunque è più scomodo.. forse (per l'uso che ne farai) t'è più comodo usare solo la forma esplicita..ricordando poi di controllare anche la retta "verticale"..
il fascio di rette implicito per $P(x_0,y_0)$:
-prendi due rette per $P$ : la scelta sta a te, prendi quella che ti è più comoda per risolvere l'esercizio.. tipicamente se non sai che scegliere puoi prendere $r_1: x-x_0=0$ e $r_2: y-y_0=0$ che passano entrambe per $P$
- il fascio è (al variare di $l,m in RR$ non entrambi nulli) $F: l(x-x_0)+m(y-y_0)=0$ (cioè per capirci, la somma dei polinomi delle due rette, con i coefficienti $l$ e $m$)
I parametri che troverai saranno determinati unicamente a meno di un fattore di proporzionalità: cioè se va bene $l=1$,$m=2$ andranno bene anche $l=3$,$m=6$ visto che se sostituisci nell'equazione poi puoi sempre dividere per 3 e riottenere l'altra eq..)
Comunque è più scomodo.. forse (per l'uso che ne farai) t'è più comodo usare solo la forma esplicita..ricordando poi di controllare anche la retta "verticale"..
La forma implicita esprime tutte le rette del piano , anche quelle verticali come già detto, ma con una penalizzazione : ha bisogno di 3 parametri $(a,b,c) $ quando una retta è definita dal passaggio per 2 punti.
Grazie a Gaal e Camillo, alla fine penso che almeno per un po userò l'equazione "alla liceale", con tutti i casini che ci sono ci manca solo che all'esame mi vengano dubbi sulla retta 
[size=75]è talmente da tanto che ho letto le fondazioni che non avevo riconosciuto il nome... sigh che nostalgia[/size]
[size=75]è talmente da tanto che ho letto le fondazioni che non avevo riconosciuto il nome... sigh che nostalgia[/size]
[size=75]Allora ti consiglio "la fine dell'Eternità", epico, colossale, libro, premessa di tutti gli altri.. e tanti saluti da Noys!
(l'ho appena finito.. in barba a Geometria3!)[/size]
(l'ho appena finito.. in barba a Geometria3!)[/size]
Ma t'è chiaro poi come usare le due "forme" dell'equazione di una retta?
Non so se sono stato chiaro nel mio post
solo che una chiarezza maggiore vorrebbe dire molte parole..
considera che a volte può essere comodo usare le forme implicite al posto delle esplicite: ad esempio io ora utilizzo solo le implicite.. basta farsi un po' d'occhio!
Non so se sono stato chiaro nel mio post
solo che una chiarezza maggiore vorrebbe dire molte parole..
considera che a volte può essere comodo usare le forme implicite al posto delle esplicite: ad esempio io ora utilizzo solo le implicite.. basta farsi un po' d'occhio!
Più o meno, nel senso che io userei sempre la retta esplicita, forse perché di esercizi dove è più conveniente l'altra non ne ho ancora fatti o se li ho fatti non ho saputo riconoscerli. Mi faresti un esempio di esercizio nel quale convenga di più la forma implicita? (L'unica cosa che mi viene in mente sono i sistemi lineari dove sei "obbligato" ad usare riduzione)
Xke in un sistema saresti obbligato ad usare riduzione???
Banalissimamente:
sia $P$ il punto (unico) di intersezione di $r: x+y=0$ e $s: x-y=0$
trovare la retta del fascio proprio di rette per $P$ che passa per $S(1,0)$
Il fascio è $F: (l+m)x+(l-m)y=0$
impongo l'appartenenza del punto e quindi $l=-m$
quindi ad esempio mi va bene $l=1$ e $m=-1$
così la retta è: $l: y=0$
Vabbè era un esempio stupido, te ne potevi anche accorgere a occhio: infatti $P(0,0)$ e quindi immediatamente è y=0 la retta cercata..
sia $P$ il punto (unico) di intersezione di $r: x+y=0$ e $s: x-y=0$
trovare la retta del fascio proprio di rette per $P$ che passa per $S(1,0)$
Il fascio è $F: (l+m)x+(l-m)y=0$
impongo l'appartenenza del punto e quindi $l=-m$
quindi ad esempio mi va bene $l=1$ e $m=-1$
così la retta è: $l: y=0$
Vabbè era un esempio stupido, te ne potevi anche accorgere a occhio: infatti $P(0,0)$ e quindi immediatamente è y=0 la retta cercata..
Puou anke usare sostituzione, io non la uso quasi mai riduzione...
"Help":
Il prof - "Come vi ho detto, non usate *mai* la retta in forma esplicita, perché in quel modo escludete le rette del tipo x=k".
Questo ho potuto verificarlo con un esercizio, e sono d'accordo. Queste sono le difficoltà:
1) Come visualizzarla "in testa", e come disegnarla? Per entrambi ho bisogno di trasformarla in forma esplicita, di riconoscere un $m$, un $n$ e allora ce l'ho, l'ho visualizzata. C'è un metodo per visualizzare rapidamente una retta in forma implicita?
2) Com'è il fascio di rette implicito?
consigli, suggerimenti... voi che equazione usate?
Grazie
La forma implicita può essere vista così:
hai un vettore nel piano: $v = (a;b)$.
Vuoi trovare tutti quei vettori $(x;y)$ che hanno prodotto scalare uguale a $-c$ con $v$.
Viene:
$(a;b) * (x;y) = -c$
$ax+by = -c$
$ax+by+c=0$
Francesco Daddi
Ancora mi sfugge un passaggio sul fascio.
Io so ricavare intuitivamente il fascio proprio del tipo $y-y_0=m(x-x_0)$ in questo modo: Fisso un punto $P(x,y)$ che chiamo centro del fascio, e un punto $Q(x_0,y_0)$ qualsiasi. allora il coefficiente angolare della retta passante per $P$ e $Q$ sarà $m=(y-y_0)/(x-x_0)$ (e questo lo vedo sul grafico), moltiplicando ambi i membri per $x-x_0$ ho il fascio che volevo.
(questo tanto per far vedere come intendo io un "ricavare" in modo intuitivo.)
Come si ricava il fascio proprio del tipo $h(ax+by+c)+k(a_0x+b_0y+c)$? so che è una combinazione lineare, in pratica corrisponde al sistema delle due rette su cui si fa la combinazione. Algebricamente lo so fare, ma non capisco...cosa sia... cioè, io so che si fa questa combinazione, e poi mi chiedo: "perchè quello è un fascio?". C'è un ricavaggio intuitivo come quello che ho postato del primo fascio (link, etc.)?
Io so ricavare intuitivamente il fascio proprio del tipo $y-y_0=m(x-x_0)$ in questo modo: Fisso un punto $P(x,y)$ che chiamo centro del fascio, e un punto $Q(x_0,y_0)$ qualsiasi. allora il coefficiente angolare della retta passante per $P$ e $Q$ sarà $m=(y-y_0)/(x-x_0)$ (e questo lo vedo sul grafico), moltiplicando ambi i membri per $x-x_0$ ho il fascio che volevo.
(questo tanto per far vedere come intendo io un "ricavare" in modo intuitivo.)
Come si ricava il fascio proprio del tipo $h(ax+by+c)+k(a_0x+b_0y+c)$? so che è una combinazione lineare, in pratica corrisponde al sistema delle due rette su cui si fa la combinazione. Algebricamente lo so fare, ma non capisco...cosa sia... cioè, io so che si fa questa combinazione, e poi mi chiedo: "perchè quello è un fascio?". C'è un ricavaggio intuitivo come quello che ho postato del primo fascio (link, etc.)?
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