Dubbi sui campi d'esistenza delle funzioni esponenziali
f(x) = (2x-7) / (x^2+3)
è una funzione esponenziale ? Mi pongo questo dubbio perchè la variabile indipendente si trova sia alla base che all'esponente.Sono abituato a considerare funzioni esponenziali , funzioni del tipo f(x)=a^x
e quindi espressioni che hanno a potenza la variabile indipendente .
se invece considero funzioni del tipo f(x) = (x-1)^radice di 2
allora , almeno per quanto mi riguarda , sto parlando di potenza perchè non ho nessuna x all'esponente .
L'elemento che mi fa distinguere una potenza (scusate se sbaglio il termine ma non so quale altra parola utilizzare ) da una funzione esponenziale è la x all'esponente . Se c'è è una funzione esponenziale ; se non c'è è una potenza .
Adesso,per quanto detto , sono orientato a considerare
f(x) = (2x-7) / (x^2+3) una funzione esponenziale e
f(x) = (x-1)^radice di 2 una funzione potenza (se la posso definire così) .
Se ne dovessi calcolare il campo d'esistenza di entrambi nel primo caso dovrei utilizzare la definizione di funzione esponenziale :
fissato un numero reale positivo a,si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo f(x) = a^x con x un numero reale .
Quindi ,se "a" è un numero reale positivo devo porre
(2x-7) / (x^2+3) >0
considerando anche che x^2+3 deve essere diverso da 0 in modo tale che la frazione esista .
x^2+3 è sempre positivo e , in altre parole , non ha zeri quindi 2x-7>0 ossia x>7/2 .
Nel secondo caso ho una funzione potenza (sempre se la posso chiamare così) quindi se l'esponente è un razionale positivo so che la base deve essere maggiore o al più nulla.Per gli esponenti reali vale la stessa cosa ,no ? Per questo so che
x-1>=0 ossia x>=1 .
Volevo sapere se il motivo per cui la condizione d'esistenza della prima funzione ha un maggiore stretto (x>7/2 ) mentre quella della seconda funzione ha un maggiore largo (x>=1) dipendesse dal fatto che la prima è una funzione esponenziale mentre la seconda una funziona potenza .
Se tutto quello che ho detto fin qui è giusto vi pongo due esercizi che mi da il libro . Calcolare la condizione di esistenza di queste funzioni :
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ -pi greco
La x non si trova all'esponente quindi sto trattando potenze . In particolare , per gli esponenti razionali positivi si richiede una base maggiore o uguale a 0 mentre per gli esponenti razionali negativi si richiede una base maggiore stretta di 0 . Sul mio libro c'è scritto che queste regole sono estese per gli esponenti reali..
Allora , la prima condizione d'esistenza sarà
(x-3) / (x^2-4) >= 0 U x^2-4 diverso da 0 --> x>=3 U 2>=x>=-2 per la prima condizione e x diverso da +/- 2 per la seconda quindi ,unendo i risultati : x>=3 U 2>x>-2
mentre la seconda sarà
(x-3) / (x^2-4) U x^2-4 diverso da 0 --> x>3 U 2>x>-2 per la prima condizione e x diverso da +/- 2 per la seconda quindi , direttamente : x>3 U 2>x>-2
(Con il simbolo "U" intendo unione ).
Ora mi chiedo : perchè se ho capito tutto bene (spero) il libro mi da come risultati due campi di esistenza uguali ?
Cioè , mi dice che
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco
e
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ -pi greco
Hanno lo stesso campo di esistenza pari a x>3 U 2>x>-2 !
Per quello che ho detto sopra ,invece ,
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco dovrebbe avere come campo di esistenza x>=3 U 2>x>-2!
Sbaglio io o il libro ?
è una funzione esponenziale ? Mi pongo questo dubbio perchè la variabile indipendente si trova sia alla base che all'esponente.Sono abituato a considerare funzioni esponenziali , funzioni del tipo f(x)=a^x
e quindi espressioni che hanno a potenza la variabile indipendente .
se invece considero funzioni del tipo f(x) = (x-1)^radice di 2
allora , almeno per quanto mi riguarda , sto parlando di potenza perchè non ho nessuna x all'esponente .
L'elemento che mi fa distinguere una potenza (scusate se sbaglio il termine ma non so quale altra parola utilizzare ) da una funzione esponenziale è la x all'esponente . Se c'è è una funzione esponenziale ; se non c'è è una potenza .
Adesso,per quanto detto , sono orientato a considerare
f(x) = (2x-7) / (x^2+3) una funzione esponenziale e
f(x) = (x-1)^radice di 2 una funzione potenza (se la posso definire così) .
Se ne dovessi calcolare il campo d'esistenza di entrambi nel primo caso dovrei utilizzare la definizione di funzione esponenziale :
fissato un numero reale positivo a,si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo f(x) = a^x con x un numero reale .
Quindi ,se "a" è un numero reale positivo devo porre
(2x-7) / (x^2+3) >0
considerando anche che x^2+3 deve essere diverso da 0 in modo tale che la frazione esista .
x^2+3 è sempre positivo e , in altre parole , non ha zeri quindi 2x-7>0 ossia x>7/2 .
Nel secondo caso ho una funzione potenza (sempre se la posso chiamare così) quindi se l'esponente è un razionale positivo so che la base deve essere maggiore o al più nulla.Per gli esponenti reali vale la stessa cosa ,no ? Per questo so che
x-1>=0 ossia x>=1 .
Volevo sapere se il motivo per cui la condizione d'esistenza della prima funzione ha un maggiore stretto (x>7/2 ) mentre quella della seconda funzione ha un maggiore largo (x>=1) dipendesse dal fatto che la prima è una funzione esponenziale mentre la seconda una funziona potenza .
Se tutto quello che ho detto fin qui è giusto vi pongo due esercizi che mi da il libro . Calcolare la condizione di esistenza di queste funzioni :
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ -pi greco
La x non si trova all'esponente quindi sto trattando potenze . In particolare , per gli esponenti razionali positivi si richiede una base maggiore o uguale a 0 mentre per gli esponenti razionali negativi si richiede una base maggiore stretta di 0 . Sul mio libro c'è scritto che queste regole sono estese per gli esponenti reali..
Allora , la prima condizione d'esistenza sarà
(x-3) / (x^2-4) >= 0 U x^2-4 diverso da 0 --> x>=3 U 2>=x>=-2 per la prima condizione e x diverso da +/- 2 per la seconda quindi ,unendo i risultati : x>=3 U 2>x>-2
mentre la seconda sarà
(x-3) / (x^2-4) U x^2-4 diverso da 0 --> x>3 U 2>x>-2 per la prima condizione e x diverso da +/- 2 per la seconda quindi , direttamente : x>3 U 2>x>-2
(Con il simbolo "U" intendo unione ).
Ora mi chiedo : perchè se ho capito tutto bene (spero) il libro mi da come risultati due campi di esistenza uguali ?
Cioè , mi dice che
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco
e
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ -pi greco
Hanno lo stesso campo di esistenza pari a x>3 U 2>x>-2 !
Per quello che ho detto sopra ,invece ,
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco dovrebbe avere come campo di esistenza x>=3 U 2>x>-2!
Sbaglio io o il libro ?
Risposte
"Umbreon93":
f(x) = (2x-7) / (x^2+3)
è una funzione esponenziale ? Mi pongo questo dubbio perchè la variabile indipendente si trova sia alla base che all'esponente.
La tua funzione è $f(x)= (2x-7)/(x^2 + 3)$ (m'è bastato racchiudere la tua scrittura tra 2 simboli di dollaro
).Dal tuo messaggio successivo si è chiarito che è $f(x)= [(2x-7)/(x^2+3)]^x$ che è una funzione esponenziale e quindi tutto quello che ho scritto l'ho tolto.
"Umbreon93":
se invece considero funzioni del tipo f(x) = (x-1)^radice di 2
allora , almeno per quanto mi riguarda , sto parlando di potenza perchè non ho nessuna x all'esponente .
Sì, infatti. Poi, se invece di "radice di due" scrivi "\sqrt(2)" e racchiudi il tutto tra simboli di dollaro ottieni
$f(x)= (x-1)^\sqrt(2)$...
"Umbreon93":
Nel secondo caso ho una funzione potenza (sempre se la posso chiamare così) quindi se l'esponente è un razionale positivo so che la base deve essere maggiore o al più nulla.Per gli esponenti reali vale la stessa cosa ,no ? Per questo so che
x-1>=0 ossia x>=1 .
Sapevo che l'esponente di una potenza poteva essere qualsiasi: mi sembra che è definito, ad esempio, $2^(-1)$ (tra l'altro è uguale a $1/2$).
"Umbreon93":
Calcolare la condizione di esistenza di queste funzioni :
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ pi greco
f(x) = [ (x-3) / (x^2-4) ] ^ -pi greco
scrivendo "\pi" e mettendo il tutto tra dollari ottieni
$f(x)= [(x-3)/(x^2 -4)]^\pi$, per la seconda c'è solo il meno davanti all'esponente.
"Umbreon93":
La x non si trova all'esponente quindi sto trattando potenze . In particolare , per gli esponenti razionali positivi si richiede una base maggiore o uguale a 0 mentre per gli esponenti razionali negativi si richiede una base maggiore stretta di 0 . Sul mio libro c'è scritto che queste regole sono estese per gli esponenti reali..
Vedi, ricollegandomi a prima, parli di "esponenti negativi" quindi non capisco perché sopra dici "esponente maggiore o uguale a zero".
"Umbreon93":
(Con il simbolo "U" intendo unione ).
Tra simboli di dollaro io scrivo "\cup" per ottenere $\cup$ però mi pare c'è un modo più semplice che ora mi sfugge.
L'esercizio, ora, lo controllo con calma, intanto invio questo papiro
.
Allora , ti rispondo al volo per chiarire subito un mio errore ..!
In realtà è f(x) = $ [(2x-7) / (x^2+3)]^(x-1) $
Così dovrebbe andare tutto il ragionamento che ho fatto,giusto ?
EDIT :
Sull'esponente mi pare di non aver detto niente, no ? Parlavo del fatto che l'esponente detti quali numeri possono esserci alla base . Un'esponente razionale positivo richiede una base maggiore o uguale a 0 ma questo perchè è stato definito così .. poteva essere anche un reale ! Se fosse stato un reale sarebbero valse le stesse regole .. Se parliamo di esponenti interi ,ad esempio , il libro dice che questi accettano qualsiasi base tranne che lo 0 . In pratica l'esponente può essere qualsiasi ma la base no! Solo se l'esponente è un naturale allora tutti i numeri reali alla base sono accettati , no ?
Ti ringrazio per la pazienza
In realtà è f(x) = $ [(2x-7) / (x^2+3)]^(x-1) $
Così dovrebbe andare tutto il ragionamento che ho fatto,giusto ?
EDIT :
Sapevo che l'esponente di una potenza poteva essere qualsiasi: mi sembra che è definito, ad esempio, $2^(-1)$ (tra l'altro è uguale a $1/2$).
Sull'esponente mi pare di non aver detto niente, no ? Parlavo del fatto che l'esponente detti quali numeri possono esserci alla base . Un'esponente razionale positivo richiede una base maggiore o uguale a 0 ma questo perchè è stato definito così .. poteva essere anche un reale ! Se fosse stato un reale sarebbero valse le stesse regole .. Se parliamo di esponenti interi ,ad esempio , il libro dice che questi accettano qualsiasi base tranne che lo 0 . In pratica l'esponente può essere qualsiasi ma la base no! Solo se l'esponente è un naturale allora tutti i numeri reali alla base sono accettati , no ?
Ti ringrazio per la pazienza
"Umbreon93":
Allora , ti rispondo al volo per chiarire subito un mio errore ..!
In realtà è f(x) = $ [(2x-7) / (x^2+3)]^(x-1) $
Così dovrebbe andare tutto il ragionamento che ho fatto,giusto ?
Sì, ottimo!
Allora vado a "ritagliare" il mio messaggio precedente dato che si è capito che c'era una svista nel testo.
Madò , ho anche editato il mio messaggio precedente , vedi un po se ne hai voglia .. scusa per i casini!
"Umbreon93":
Madò , ho anche editato il mio messaggio precedente , vedi un po se ne hai voglia .. scusa per i casini!
Succede che ci sono sviste, non preoccuparti.
... e io potrei chiederti scusa per aver ripetuto spesso "ma non è un esponenziale" proprio perché mancava una funzione di $x$ (nel tuo caso semplicemente $x$) all'esponente.
Ok,allora abbiamo chiarito tutto! Per quanto riguarda tutto il mio ragionamento ,allora , non c'è nessun errore , no ?
Manca quella questione del +/- pi greco
Manca quella questione del +/- pi greco
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