Dubbi su trasformazioni geometriche
Buonasera a tutti, sono nuova del Forum. Mi chiamo Elena e frequento il quarto anno di Liceo Scientifico. Sono approdata su questo Forum perché ultimamente mi capita piuttosto spesso di trovare delle difficoltà in Matematica e Fisica. Mi appello quindi a voi, sperando che possiate farmi luce su alcuni punti oscuri dell'argomento "Trasformazioni geometriche", visto che manca ancora (ebbene sì) un compito da fare e che vorrei andare discretamente 
Passo subito ai miei dubbi. Prima di tutto, vorrei capire esattamente come si ricava la trasformata di una curva. Perché, data una trasformazione, bisogna ricavare prima x e y in funzione di x' e y' e non si può procedere come nel caso dei punti trasformati? Per quali tipi di trasformazioni bisogna ricavarsi prima l'inversa?
Poi avrei anche un'altro domanda: se ho due curve (o due rette) e devo ricavarmi le equazioni della trasformazione, come devo procedere?
Grazie mille a chi mi risponderà, mi fareste davvero un enorme favore. Purtroppo la mia professoressa ci ha fatto fare pochi esercizi spiegando solo la teoria, e io non ho capito bene come si facciano.
Passo subito ai miei dubbi. Prima di tutto, vorrei capire esattamente come si ricava la trasformata di una curva. Perché, data una trasformazione, bisogna ricavare prima x e y in funzione di x' e y' e non si può procedere come nel caso dei punti trasformati? Per quali tipi di trasformazioni bisogna ricavarsi prima l'inversa?
Poi avrei anche un'altro domanda: se ho due curve (o due rette) e devo ricavarmi le equazioni della trasformazione, come devo procedere?
Grazie mille a chi mi risponderà, mi fareste davvero un enorme favore. Purtroppo la mia professoressa ci ha fatto fare pochi esercizi spiegando solo la teoria, e io non ho capito bene come si facciano.
Risposte
Il tema è interessante e complesso per cui, visto che questa sera c'è la finale di Champions League, mi limito a consigliarti questa esauriente pagina web:
http://www.****.it/formulari/formula ... riche.html
http://www.****.it/formulari/formula ... riche.html
Grazie, ho letto la pagina e mi ha aiutato. Però continuo ad avere problemi con questo esercizio:
a) Determina i coefficienti a e b della trasformazione { x' = ax + by {y' = bx - ay con a,b > 0 tale che trasformi l'iperbole $ x^2 -y^2 = 4 $ nella forma $ xy = 1/4 $ (Qui non mi vengono a e b. Ho provato ma credo proprio di aver sbagliato procedimento)
b) Studia la trasformazione ottenuta osservando come viene trasformato il triangolo di vertici $ (0;0), (1;0), (-1;-1) $ (Qui ho trasformato il triangolo aiutandomi temporaneamente con i risultati di a e b che forniva il libro. Mi è uscita una similitudine indiretta, ma non capisco perché il rapporto di similitudine $ A'B' \backslash AB = |k| $ mi venga $ \sqrt{8} $ invece di $ 1/4 \sqrt{2} $, che è il risultato del libro)
c) Determina l'equazione della trasformata della curva $ x^2 + y^2 = 1 $ (Anche qui, io ho ricavato x e y dalla trasformazione, ma non viene il risultato, che sarebbe $ x^2 + y^2 = 1/8 $, che invece esce sostituendo all'equazione della curva direttamente x' e y'. Perché?)
Grazie mille, mi scuso se ho sbagliato a scrivere i simboli ma questa è la prima volta che lo faccio. Se mi poteste aiutare con questo problema ve ne sarei infinitamente grata.
a) Determina i coefficienti a e b della trasformazione { x' = ax + by {y' = bx - ay con a,b > 0 tale che trasformi l'iperbole $ x^2 -y^2 = 4 $ nella forma $ xy = 1/4 $ (Qui non mi vengono a e b. Ho provato ma credo proprio di aver sbagliato procedimento)
b) Studia la trasformazione ottenuta osservando come viene trasformato il triangolo di vertici $ (0;0), (1;0), (-1;-1) $ (Qui ho trasformato il triangolo aiutandomi temporaneamente con i risultati di a e b che forniva il libro. Mi è uscita una similitudine indiretta, ma non capisco perché il rapporto di similitudine $ A'B' \backslash AB = |k| $ mi venga $ \sqrt{8} $ invece di $ 1/4 \sqrt{2} $, che è il risultato del libro)
c) Determina l'equazione della trasformata della curva $ x^2 + y^2 = 1 $ (Anche qui, io ho ricavato x e y dalla trasformazione, ma non viene il risultato, che sarebbe $ x^2 + y^2 = 1/8 $, che invece esce sostituendo all'equazione della curva direttamente x' e y'. Perché?)
Grazie mille, mi scuso se ho sbagliato a scrivere i simboli ma questa è la prima volta che lo faccio. Se mi poteste aiutare con questo problema ve ne sarei infinitamente grata.
a)
Se $\{(x' = ax + by ),(y' = bx - ay):}$ con $a,b > 0$ è la trasformazione che porta $ x^2 -y^2 = 4 $ in $ xy = 1/4 $ non serve che ti ricavi la forma per $x$ e $y$ da sostituire nella prima iperbole, puoi sostituire queste formule nella seconda e imporre di ottenere la prima
$(ax+by)(bx-ay)=1/4$ diventa $abx^2+b^2xy-a^2xy-aby^2=1/4$ moltiplico tutto per 16 per ottenere il termine noto della risultante e impongo al coefficiente di xy di annullarsi:
$a^2-b^2=0$ e $16abx^2-16aby^2=4$ per cui $16ab=1$, sapendo che $a,b>0$ ottengo $a=b=1/4$
la trasformazione è quindi
$\{(x' = 1/4x + 1/4y ),(y' = 1/4x - 1/4y):}$ e la sua inversa si ottiene molto semplicemente sommando e sottraendo le due equazioni
$\{(x' +y' = 1/2x ),(x'-y' = 1/2y):}$ da cui $\{(x=2x' +2y' ),(y=2x'-2y' ):}$
b) i calcoli sono corretti, ma non hai fatto $(A'B')/(AB)$, hai fatto il contrario $(AB)/(A'B')$
c) applica la trasformazione $\{(x=2x' +2y' ),(y=2x'-2y' ):}$ alla circonferenza $x^2+y^2=1$ con calma, è solo questione di conti.
Se $\{(x' = ax + by ),(y' = bx - ay):}$ con $a,b > 0$ è la trasformazione che porta $ x^2 -y^2 = 4 $ in $ xy = 1/4 $ non serve che ti ricavi la forma per $x$ e $y$ da sostituire nella prima iperbole, puoi sostituire queste formule nella seconda e imporre di ottenere la prima
$(ax+by)(bx-ay)=1/4$ diventa $abx^2+b^2xy-a^2xy-aby^2=1/4$ moltiplico tutto per 16 per ottenere il termine noto della risultante e impongo al coefficiente di xy di annullarsi:
$a^2-b^2=0$ e $16abx^2-16aby^2=4$ per cui $16ab=1$, sapendo che $a,b>0$ ottengo $a=b=1/4$
la trasformazione è quindi
$\{(x' = 1/4x + 1/4y ),(y' = 1/4x - 1/4y):}$ e la sua inversa si ottiene molto semplicemente sommando e sottraendo le due equazioni
$\{(x' +y' = 1/2x ),(x'-y' = 1/2y):}$ da cui $\{(x=2x' +2y' ),(y=2x'-2y' ):}$
b) i calcoli sono corretti, ma non hai fatto $(A'B')/(AB)$, hai fatto il contrario $(AB)/(A'B')$
c) applica la trasformazione $\{(x=2x' +2y' ),(y=2x'-2y' ):}$ alla circonferenza $x^2+y^2=1$ con calma, è solo questione di conti.
Grazie mille melia! Anche a me al primo punto usciva $ a=b=1/4 $, ma il libro porta come risultato 2...
2 è il valore della trasformazione inversa, come puoi osservare nei calcoli successivi.
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