Dubbi su translazione
Ciao ragazzi!
Manca solo 1 settimana e finalmente arriverà questa tanta attesa (?) maturità!
Mi è sorto un bel dubbio sulla translazione.
Consideriamo in un sistema di riferimento $ xOy $, una parabola di equazione $ y = x^2 $ e una retta di equazione $ y = 2 $
Il grafico in questione è il seguente:
Se voglio calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della parabola attorno all'asse $ y = 2 $, devo translare il sistema di riferimento e successivamente risolvere l'integrale. Dunque devo considerare un nuovo sistema di riferimento $ XO'Y $ e considerare $ X = x $ e $ Y = y - 2 $
Nel nuovo sistema di riferimento $ XO'Y $ la retta di equazione $ y = 2$ avrà equazione $ Y = 0 $, la parabola avrà equazione $ Y = X^2 - 2 $ con vertice in (0; -2) mentre l'asse della ascisse x avrà equazione $ Y = -2$.
In questo modo posso applicare l'integrale e così via dicendo. Ora mi domando: tutto ciò è ammesso? Nel senso, per capire meglio la figura, e poter capire quello che posso fare o meno, è concesso disegnare un nuovo sistema di riferimento $ XO'Y $ in questo modo?
Vi ringrazio anticipatamente.
Mauro
Manca solo 1 settimana e finalmente arriverà questa tanta attesa (?) maturità!
Mi è sorto un bel dubbio sulla translazione.
Consideriamo in un sistema di riferimento $ xOy $, una parabola di equazione $ y = x^2 $ e una retta di equazione $ y = 2 $
Il grafico in questione è il seguente:
Se voglio calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della parabola attorno all'asse $ y = 2 $, devo translare il sistema di riferimento e successivamente risolvere l'integrale. Dunque devo considerare un nuovo sistema di riferimento $ XO'Y $ e considerare $ X = x $ e $ Y = y - 2 $
Nel nuovo sistema di riferimento $ XO'Y $ la retta di equazione $ y = 2$ avrà equazione $ Y = 0 $, la parabola avrà equazione $ Y = X^2 - 2 $ con vertice in (0; -2) mentre l'asse della ascisse x avrà equazione $ Y = -2$.
In questo modo posso applicare l'integrale e così via dicendo. Ora mi domando: tutto ciò è ammesso? Nel senso, per capire meglio la figura, e poter capire quello che posso fare o meno, è concesso disegnare un nuovo sistema di riferimento $ XO'Y $ in questo modo?
Vi ringrazio anticipatamente.
Mauro
Risposte
Certo, effettuare traslazioni è ammesso. Ma perché vuoi perderci tempo? Sezionando il solido con piani perpendicolari all'asse di rotazione ottieni cerchi di raggio $2-x^2$; tenendo conto del fatto che le curve si incontrano in $(+-sqrt2,2)$ e della simmetria del problema, i volume è quindi $2 pi int_0^(sqrt2) (2-x^2)^2dx$
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