Dubbi su problemi di geometria piana con parametri
Buonasera a tutti.
Sto trovando alcune difficoltà nel risolvere i problemi di geometria piana con i parametri, perché a volte le condizioni che pongo mi portano a sistemi in cui ad esempio c'è una conica fissa e un fascio di altre coniche,o curve che ancora non abbiamo studiato.
Faccio un esempio.
"Due rette si incontrano perpendicolarmente nel punto O. Su una di esse, da parti opposte rispetto ad O, costruisci due segmenti OP e OR; alla stessa maniera sull'altra costruisci i segmenti OQ congruente a OP e OS congruente a OR.
a)Dimostra che il quadrilatero PQRS è un trapezio isoscele.
b)Mantenendo fissa la misura a del segmento PS, determina i quattro segmenti precedebti in modo che l'area di PQRS sia uguale a k, k>0. Nella discussione poni a = 1"
Per risolvere questo ho provato a fare in due modi diversi.
1) pongo $OP=x$ e trovo la misura di $OR$ in funzione di x. Dato che il trapezio ha area metà di quella di un quadrato avente per lato $OP + OR$, ho scritto in funzione di x l'area del trapezio, ovvero $2x*sqrt(a^2-x^2)+a^2=2k$.
Ponendo y = x^2,risulta un sistema parametrico con equazioni $4x^2-4x^2y=4k^2-4k+1$, $y=x^2$ e le limitazioni. Però la prima equazione è un fascio di... Non so bene cosa. Tuttavia ho provato su geogebra e i risultati escono.
2)Ho posto $OP=x$ e $OR=y$, ho trovato l'area come prima, ottenendo $(x+y)^2=k$ e ho posto che $x^2+y^2=a^2$ per il teorema di pitagora... Anche in questo caso La prima equazione non l'abbiamo affrontata a scuola (credo sia un fascio di una coppia di rette). Anche in questo modo, comunque, geogebra conferma il risultato sul libro.
Come faccio ad andare avanti se trovo equazioni che non so studiare e disegnare?
E, già che ci sono, potrei avere qualche dritta per trovare velocemente la strada migliore per risolvere questo tipo di problemi?
Grazie in anticipo, Buonasera!
Sto trovando alcune difficoltà nel risolvere i problemi di geometria piana con i parametri, perché a volte le condizioni che pongo mi portano a sistemi in cui ad esempio c'è una conica fissa e un fascio di altre coniche,o curve che ancora non abbiamo studiato.
Faccio un esempio.
"Due rette si incontrano perpendicolarmente nel punto O. Su una di esse, da parti opposte rispetto ad O, costruisci due segmenti OP e OR; alla stessa maniera sull'altra costruisci i segmenti OQ congruente a OP e OS congruente a OR.
a)Dimostra che il quadrilatero PQRS è un trapezio isoscele.
b)Mantenendo fissa la misura a del segmento PS, determina i quattro segmenti precedebti in modo che l'area di PQRS sia uguale a k, k>0. Nella discussione poni a = 1"
Per risolvere questo ho provato a fare in due modi diversi.
1) pongo $OP=x$ e trovo la misura di $OR$ in funzione di x. Dato che il trapezio ha area metà di quella di un quadrato avente per lato $OP + OR$, ho scritto in funzione di x l'area del trapezio, ovvero $2x*sqrt(a^2-x^2)+a^2=2k$.
Ponendo y = x^2,risulta un sistema parametrico con equazioni $4x^2-4x^2y=4k^2-4k+1$, $y=x^2$ e le limitazioni. Però la prima equazione è un fascio di... Non so bene cosa. Tuttavia ho provato su geogebra e i risultati escono.
2)Ho posto $OP=x$ e $OR=y$, ho trovato l'area come prima, ottenendo $(x+y)^2=k$ e ho posto che $x^2+y^2=a^2$ per il teorema di pitagora... Anche in questo caso La prima equazione non l'abbiamo affrontata a scuola (credo sia un fascio di una coppia di rette). Anche in questo modo, comunque, geogebra conferma il risultato sul libro.
Come faccio ad andare avanti se trovo equazioni che non so studiare e disegnare?
E, già che ci sono, potrei avere qualche dritta per trovare velocemente la strada migliore per risolvere questo tipo di problemi?
Grazie in anticipo, Buonasera!
Risposte
Ti vuoi complicare la vita ... fatti un disegnino e ragionaci un pochino prima di iniziare ...
Per il punto 1), $OP$ e $OQ$ sono i cateti di un triangolo rettangolo isoscele, altrettanto lo sono $OR$ e $OS$. Da qui dimostrare che $PQRS$ è un trapezio isoscele (ed anche calcolarne l'area) non è difficile ...
Cordialmente, Alex
Per il punto 1), $OP$ e $OQ$ sono i cateti di un triangolo rettangolo isoscele, altrettanto lo sono $OR$ e $OS$. Da qui dimostrare che $PQRS$ è un trapezio isoscele (ed anche calcolarne l'area) non è difficile ...
Cordialmente, Alex
Aggiungo l'immagine della situazione per rendere più veloce la lettura
Grazie per la risposta così celere. Sì, hai ragione, ma il problema che mi sono posto è il punto b, il punto a lo avevo lasciato da parte per il momento.
EDIT:
Quando ho scritto 1) e 2) intendevo i due modi diversi in cui ho svolto l'esercizio
EDIT:
Quando ho scritto 1) e 2) intendevo i due modi diversi in cui ho svolto l'esercizio
Il punti a) è praticamente immediato come hai visto, ma anche il b) non è complicato ...
Date le due coordinate tutte le misure si trovano velocemente: son cateti e ipotenuse e distanza tra rette parallele ...
Date le due coordinate tutte le misure si trovano velocemente: son cateti e ipotenuse e distanza tra rette parallele ...
Ho fatto ciò, ma dopo aver trovato l'area in funzione di x devo risolvere un sistema parametrico dove il parametro è l'area: devo trovare il numero di soluzioni al variare dell'area(ovvero di k) ed è proprio qui che trovo difficoltà
Sinceramente non capisco cosa vuoi dire ... peraltro il testo che riporti non è chiarissimo per me ... cosa sarebbe $a$ ?
Comunque l'area è $(x+y)^2=k$ e $PS^2=x^2+y^2$, da cui ottieni $k=x^2+y^2+2xy=PS^2+2xy$ ovvero $(k-PS^2)/2=xy$ od anche $(k-PS^2)/2*1/y=x$
Comunque l'area è $(x+y)^2=k$ e $PS^2=x^2+y^2$, da cui ottieni $k=x^2+y^2+2xy=PS^2+2xy$ ovvero $(k-PS^2)/2=xy$ od anche $(k-PS^2)/2*1/y=x$
Allora, effettivamente questo tipo di esercizi è poco chiaro in sé. Praticamente l'obiettivo finale è ottenere una relazione dove è presente un parametro (in questo caso k) e alla fine discutere quanti soluzioni ci sono per determinati valori di k. Un esempio più chiaro è un problema dove diceva di dividere un segmento AB di lunghezza 1 in due segmenti attraverso un punto P. La relazione che richiedeva era: $3AP^2+2PB^2=k$ quindi usciva f(x) = k e, dato che l'espressione conteneva un termine x^2 si poteva fare un sistema parametrico, ponendo y=x^2, formato dalla parabola y=x^2 e dal fascio di rette ottenundo sostituendo y a x^2 all'interno dell'equazione f(x)=k.
Alla fine il risultato era 2 soluzioni per $6/5<=k<=2$ e due soluzioni per $2
Per quanto riguarda $a$ penso che ai fini del ragionamento si può pensare che sia semplicemente uguale a 1.
Alla fine il risultato era 2 soluzioni per $6/5<=k<=2$ e due soluzioni per $2
Per quanto riguarda $a$ penso che ai fini del ragionamento si può pensare che sia semplicemente uguale a 1.
Il procedimento (2) è, a mio avviso, il più semplice. Devi solo correggere una piccola dimenticanza: $ (x+y)^2 $ è il doppio dell'area, cioè $ 2k $. Ricordando che $ x $ e $ y $ sono misure di segmenti, e in quanto tali positivi, hai: come arco utile quello della circonferenza di raggio $ 1 $ che si trova nel primo quadrante e dovrai individuare le intersezioni con il fascio di rette di equazione $ x+y= \sqrt(2k) $ (rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Troverai $ 2 $ intersezioni per ogni valore di $ k $ compreso fra ....
Ciao
B.
Ciao
B.
Che stupido al posto di mettere subito tutto sotto la radice ho svolto il quadrato... Grazie mille!
Comunque... Se in problemi futuri dovessi trovarmi un sistema parametrico formato ad esempio da un fascio di parabole e una iperbole, come procedo graficamente a risolvere il sistema?
Grazie ancora
Comunque... Se in problemi futuri dovessi trovarmi un sistema parametrico formato ad esempio da un fascio di parabole e una iperbole, come procedo graficamente a risolvere il sistema?
Grazie ancora
"gb99pm10":
...come procedo graficamente a risolvere il sistema?
La difficoltà maggiore è determinare i valori del parametro corrispondenti alla tangenza. Non preoccuparti eccessivamente: tieni conto che gli esercizi (fortunatamente o malauguratamente, questione di punti di vista) dovrebbero esser formulati in modo da rendere fattibile la loro risoluzione.
Ciao
B.
Grazie mille per i chiarimenti.
Buona giornata
Buona giornata
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